Để mua giày cho 16 bạn nam trong lớp tập luyện thể thao, bạn Huy đã thu thập cỡ giày của các bạn nam trong lớp và ghi lại theo bảng sau:

40	37	38	39	37	38	40	40
39	38	40	39	37	41	40	39

Tần số của giá trị cỡ giày 40 là

a) Không gian mẫu:

\[\left\{ {\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {4;7} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right);\left( {5;7} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;7} \right)} \right\}\]

Số kết quả thuận lợi của biến cố \[A\]: “Tổng hai số trên hai viên bi chia 3 dư 1” là:

\[\left\{ {\left( {4;6} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;7} \right);\left( {7;6} \right)} \right\}\]

Xác suất của biến cố \[A\] là \[P(A) = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\].

b) Gọi số xe thực tế tham gia chở hàng là \[x\](xe) \[x \in N*\]

Số xe dự định ban đầu là: \[x + 1\] (xe)

Dự kiến ban đầu mỗi xe chở số tấn hàng là: \[\frac{{66}}{{x + 1}}\](tấn)

Thực tế mỗi xe chở số tấn hàng là: \[\frac{{66}}{x}\] (tấn).

Theo bài ra ta có phương trình: \[\frac{{66}}{x} - \frac{{66}}{{x + 1}} = \frac{1}{2}\] hay \[{x^2} + x - 132 = 0\]

Giải ra ta có: \[{x_1} = 11\](thoả mãn); \[{x_2} =  - 12\](loại)

Vậy số xe thực tế tham gia chở hàng là: 11 (xe).

Suy ra 3 điểm \[B,E,C\] cùng nằm trên đường tròn đường kính BC (1).

Ta có: \[CF \bot AB\] nên \[\widehat {BFC} = 90^\circ .\]

Suy ra 3 điểm \[B,F,C\] cùng nằm trên đường tròn đường kính BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \[BCEF\] nội tiếp.

b) Kẻ đường kính \[AP\] của đường tròn \[\left( O \right)\]. Khi đó \[PC \bot AC\] nên \[PC\]//\[BH\](cùng vuông góc với \[AC\]) và \[PB \bot AB\] nên \[PB\]//\[CH\](cùng vuông góc với \[AB\]). Do đó \[BHCP\] là hình bình hành.

Suy ra trung điểm \[I\]của \[BC\] cũng là trung điểm của \[PH\]. Vì vậy \[OI\] là đường trung bình của tam giác \[PAH\] nên \[OI = \frac{{AH}}{2}\] hay \[AH = 2OI\].

Kẻ đường thẳng qua \[H\], vuông góc với \[IH\]cắt các đường thẳng \[AB,AC\] lần lượt tại \[X,Y\].

Vì \[\widehat {PBX} = \widehat {PHX} = {90^o}\] nên các điểm \[P,B,X,H\] nằm trên đường tròn đường kính \[PX\], suy ra \[\widehat {PXH} = \widehat {PBH}\]. Tương tự \[\widehat {PCY} = \widehat {PHY} = {90^o}\] nên các điểm \[P,C,Y,H\] nằm trên đường tròn đường kính \[PY\], suy ra \[\widehat {PYH} = \widehat {PCH}\]

Mà \[BHCP\] là hình bình hành nên \[\widehat {PBH} = \widehat {PCH}\], suy ra \[\widehat {PXH} = \widehat {PYH}\] hay tam giác \[PXY\] cân tại \[P\], đường cao \[PH\] nên \[H\] là trung điểm của \[XY\].

Vì \[XY\]//\[MN\] nên ta có \[\frac{{XH}}{{MQ}} = \frac{{AH}}{{AQ}} = \frac{{HY}}{{QN}}\]. Suy ra \[MQ = QN\] hay \[Q\] là trung điểm của \[MN\]