1. Tính giá trị của biểu thức \[P = {x^{2022}} - 10{x^{2021}} + {x^{2020}} + 2021\] tại \(x = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\).
2. Giải phương trình: \(x + \sqrt {{x^2} - 1} = \sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} + 4\).
3. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 3x = {y^3} - 8\\{x^2} + {y^2} = y + 2\end{array} \right.\).
1. Tính giá trị của biểu thức \[P = {x^{2022}} - 10{x^{2021}} + {x^{2020}} + 2021\] tại \(x = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\).
2. Giải phương trình: \(x + \sqrt {{x^2} - 1} = \sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} + 4\).
3. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 3x = {y^3} - 8\\{x^2} + {y^2} = y + 2\end{array} \right.\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1. Tính giá trị của biểu thức \[P = {x^{2022}} - 10{x^{2021}} + {x^{2020}} + 2021\] tại \(x = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\) .
Ta có: \(x = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}\)
\( = \frac{{5 - 2\sqrt 6 }}{{3 - 2}} = 5 - 2\sqrt 6 \).
Suy ra: \({\left( {x - 5} \right)^2} = 24 \Rightarrow {x^2} - 10x + 1 = 0\).
Do đó, \[P = {x^{2020}}\left( {{x^2} - 10x + 1} \right) + 2021 = 2021\].
2. Giải phương trình: \(x + \sqrt {{x^2} - 1} = \sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} + 4\).
Điều kiện: x ³ 1. Đặt \(t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} \) ( \(t \ge \sqrt 2 \)).
Suy ra: \({t^2} = 2x + 2\sqrt {{x^2} - 1} \).
Phương trình thành: \(\frac{{{t^2}}}{2} = t + 4 \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4\) (nhận) hoặc t = -2 (loại).
Khi đó, \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = 8 - x\)
Û \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 8\\{x^2} - 1 = 64 - 16x + {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{65}}{{16}}\) (nhận).
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{{65}}{{16}}} \right\}\).
3. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 3x = {y^3} - 8\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} = y + 2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
Lấy phương trình (2) nhân 3 hai vế cộng với phương trình (1) ta được:
\({\left( {x + 1} \right)^3} = {\left( {y - 1} \right)^3} \Leftrightarrow x + 1 = y - 1 \Leftrightarrow y = x + 2\).
Thế vào phương trình (2) ta được: \[{x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} = \left( {x + 2} \right) + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x = 0\]
Û \(x = - \frac{3}{2}\) hoặc x = 0.
· TH1: x = 0 Þ y = 2.
· TH2: \(x = - \frac{3}{2}\) Þ \(y = \frac{1}{2}\).
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: \(S = \left\{ {\left( {0;2} \right),\left( { - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)} \right\}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đặt \(d = \left( {m,n} \right)\). Khi đó, \(m = d{m_1},\,\,n = d{n_1}\), \(\left( {{m_1},{n_1}} \right) = 1\), \({m_1},{n_1} \in {\mathbb{Z}^ + }\).
Ta có: \(mn|{m^2} + {n^2} + m\)
\( \Rightarrow {d^2}{m_1}{n_1}|{d^2}m_1^2 + {d^2}n_1^2 + d{m_1} \Rightarrow d|d{m_1}{n_1}|dm_1^2 + dn_1^2 + {m_1} \Rightarrow d|{m_1}\).
Tương tự \[{m_1}|d{m_1}{n_1}|dm_1^2 + dn_1^2 + {m_1} \Rightarrow {m_1}|dn_1^2 \Rightarrow {m_1}|d\], vì \(\left( {{m_1},{n_1}} \right) = 1\).
Do đó, \(d = {m_1}\) Þ \(m = {d^2}\) là số chính phương.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Chứng minh BH.BC = BE.BF .
Ta có: (g.g) vì có \(\widehat {ABF}\) chung và \(\widehat {BAF} = \widehat {AEB}\) (cùng chắn cung ).
Suy ra: \(\frac{{BA}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BA}} \Rightarrow BE.BF = B{A^2}\).
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: \(B{A^2} = BH.BC\) Þ BH.BC = BE.BF.
b) Chứng minh HD là tia phân giác của góc \(\widehat {EHF}\).
Ta có: (c.g.c) vì có \(\widehat {HBF}\) chung và \(\frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) (suy từ câu a).
Suy ra: \(\widehat {BHF} = \widehat {BEC}\) (1) Þ tứ giác EFHC nội tiếp đường tròn.
Do đó, \(\widehat {EHC} = \widehat {EFC}\) (cùng chắn cung )
= \(\widehat {CEF}\) (do D CEF cân tại C). (2)
Từ (1) và (2) Þ \(\widehat {FHB} = \widehat {EHC}\)
Þ \(\widehat {DHE} = \widehat {DHC} - \widehat {EHC} = 90^\circ - \widehat {EHC} = \widehat {DHB} - \widehat {FHB} = \widehat {DHF}\).
Do đó, HD là tia phân giác của góc \(\widehat {EHF}\).
c) Chứng minh F là trung điểm MN.
Vì MF// AE nên theo định lý Ta-lét ta có: \(\frac{{MF}}{{AE}} = \frac{{BF}}{{BE}}\).(3)
Vì NF// AE nên theo định lý Ta-lét ta có: \(\frac{{NF}}{{AE}} = \frac{{DF}}{{DE}}\). (4)
Xét D EHF có HD ^ HB và HD là tia phân giác trong của góc \(\widehat {EHF}\)nên HB là tia phân giác ngoài của góc \(\widehat {EHF}\)Þ \(\frac{{BF}}{{BE}} = \frac{{HF}}{{HE}} = \frac{{DF}}{{DE}}\). (5)
Từ (3), (4), (5) Þ \(\frac{{MF}}{{AE}} = \frac{{NF}}{{AE}}\) Þ MF = NF Þ F là trung điểm MN.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập