Cho tam giác ABC vuông tại A (AC < AB) có đường cao AH. Gọi D là điểm nằm trên đoạn thẳng AH (D khác A và H). Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C bán kính CA tại E và F (F nằm giữa B và D). Qua F vẽ đường thẳng song song với AE cắt hai đường thẳng AB và AH lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh BH.BC = BE.BF.

b) Chứng minh HD là tia phân giác của góc \(\widehat {EHF}\).

c) Chứng minh F là trung điểm MN.

Đặt \(d = \left( {m,n} \right)\). Khi đó, \(m = d{m_1},\,\,n = d{n_1}\), \(\left( {{m_1},{n_1}} \right) = 1\), \({m_1},{n_1} \in {\mathbb{Z}^ + }\).

Ta có: \(mn|{m^2} + {n^2} + m\)

\( \Rightarrow {d^2}{m_1}{n_1}|{d^2}m_1^2 + {d^2}n_1^2 + d{m_1} \Rightarrow d|d{m_1}{n_1}|dm_1^2 + dn_1^2 + {m_1} \Rightarrow d|{m_1}\).

Tương tự \[{m_1}|d{m_1}{n_1}|dm_1^2 + dn_1^2 + {m_1} \Rightarrow {m_1}|dn_1^2 \Rightarrow {m_1}|d\], vì \(\left( {{m_1},{n_1}} \right) = 1\).

Do đó, \(d = {m_1}\) Þ \(m = {d^2}\) là số chính phương.

1. Tính giá trị của biểu thức \[P = {x^{2022}} - 10{x^{2021}} + {x^{2020}} + 2021\] tại \(x = \frac{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}\) .

Ta có: \(x = \frac{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}}\)

\( = \frac{{5 - 2\sqrt 6 }}{{3 - 2}} = 5 - 2\sqrt 6 \).

Suy ra: \({\left( {x - 5} \right)^2} = 24 \Rightarrow {x^2} - 10x + 1 = 0\).

Do đó, \[P = {x^{2020}}\left( {{x^2} - 10x + 1} \right) + 2021 = 2021\].

2. Giải phương trình: \(x + \sqrt {{x^2} - 1}  = \sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 1}  + 4\).

Điều kiện: x ³ 1. Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 1} \) ( \(t \ge \sqrt 2 \)).

Suy ra: \({t^2} = 2x + 2\sqrt {{x^2} - 1} \).

Phương trình thành: \(\frac{{{t^2}}}{2} = t + 4 \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4\) (nhận) hoặc t = -2 (loại).

Khi đó, \(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 1}  = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1}  = 8 - x\)

Û \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 8\\{x^2} - 1 = 64 - 16x + {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{65}}{{16}}\) (nhận).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{{65}}{{16}}} \right\}\).

3. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 3x = {y^3} - 8\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} = y + 2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Lấy phương trình (2) nhân 3 hai vế cộng với phương trình (1) ta được:

\({\left( {x + 1} \right)^3} = {\left( {y - 1} \right)^3} \Leftrightarrow x + 1 = y - 1 \Leftrightarrow y = x + 2\).

Thế vào phương trình (2) ta được: \[{x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} = \left( {x + 2} \right) + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x = 0\]

Û \(x =  - \frac{3}{2}\) hoặc x = 0.

· TH1: x = 0 Þ y = 2.

· TH2: \(x =  - \frac{3}{2}\) Þ \(y = \frac{1}{2}\).

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: \(S = \left\{ {\left( {0;2} \right),\left( { - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)} \right\}\).