Một cái thang dài 5 m được đặt dựa vào một bức tường sao cho góc tạo bởi thang và mặt đất bằng 60o (tham khảo hình vẽ). Hỏi thang chạm vào tường ở độ cao h bằng bao nhiêu mét?

 

a)   Chứng minh \(MHCE\) là tứ giác nội tiếp.

Vì CD ^ AM tại H nên DCHM vuông tại H. Vậy ba điểm C, H, M cùng thuộc đường tròn đường kính CM (1).

Vì EM ^ BC tại E nên DCEM vuông tại E. Vậy ba điểm C, E, M cùng thuộc đường tròn đường kính CM (2).

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm C, H, E, M cùng thuộc đường tròn đường kính CM.

Vậy tứ giác MHCE là tứ giác nội tiếp.

b)  Chứng minh tứ giác \(ACMD\) là hình thoi và ba điểm \(E,M,D\) thẳng hàng.

Vì H là trung điểm của AM và CD vuông góc AM tại H nên CD là đường trung trực của AM. Theo tính chất đường trung trực ta có CM = CA và DM = DA (3)

Xét DCOD có OC = OD nên DCOD cân tại O.

Tam giác cân COD có OH là đường cao đồng thời cũng là đường trung trực.

Vậy AM là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Theo tính chất đường trung trực ta có CM = DM (4)

Từ (3) và (4) ta có: CM = CA = DA = DM. Vậy tứ giác ACMD là hình thoi.

Ta có \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[(O)\] nên \[\widehat {ACB} = 90^\circ  \Rightarrow AC \bot BC\].

Ta có AC ^ BC mà DM // AC (tính chất hình thoi) nên DM ^ BC.

Vì DM ^ BC và ME ^ BC nên ba điểm D, M, E cùng thuộc một đường thẳng (theo tiên đề Ơ-clit).

Vậy ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Đặt \(x\) (km/h) là tốc độ của ô tô lúc đi từ thành phố A đến thành phố B. Điều kiện \(x > 10\).

Thời gian ô tô đi từ thành phố A đến thành phố B là \(\frac{{200}}{x}\) (giờ).

Tốc độ của ô tô khi đi từ thành phố B về thành phố A là \(x - 10\) (km/h).

Thời gian ô tô đi từ thành phố B đến thành phố 1 là \(\frac{{200}}{{x - 10}}\) (giờ).

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ nên ta có phương trình: \(\frac{{200}}{{x - 10}} - \frac{{200}}{x} = 1\)

Quy đồng, khử mẫu ta được: \(200x - 200(x - 10) = x(x - 10)\) \( \Rightarrow {x^2} - 10x - 2000 = 0 & (*)\)

Phương trình \((*)\) có \(\Delta ' = {( - 5)^2} - 1 \cdot ( - 2000) = 2025 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = 45\) nên phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - ( - 5) + 45}}{1} = 50\) (thỏa điều kiện) và \({x_2} = \frac{{ - ( - 5) - 45}}{1} =  - 40\) (không thỏa điều kiện).

Vậy tốc độ lúc đi của ô tô là 50 km/h.