Cho đường tròn \((O)\), đường kính \(AB\). Trên đoạn thẳng \(OB\) lấy điểm \(M\) bất kì (\(M\) không trùng với \(O\) và \(B\)). Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AM\). Qua \(H\) kẻ dây \(CD\) vuông góc với \(AM\). Kẻ \(ME\) vuông góc \(BC\) tại \(E\).

a)   Chứng minh \(MHCE\) là tứ giác nội tiếp.

b)  Chứng minh tứ giác \(ACMD\) là hình thoi và ba điểm \(E,M,D\) thẳng hàng.

a)   Chứng minh \(MHCE\) là tứ giác nội tiếp.

Vì CD ^ AM tại H nên DCHM vuông tại H. Vậy ba điểm C, H, M cùng thuộc đường tròn đường kính CM (1).

Vì EM ^ BC tại E nên DCEM vuông tại E. Vậy ba điểm C, E, M cùng thuộc đường tròn đường kính CM (2).

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm C, H, E, M cùng thuộc đường tròn đường kính CM.

Vậy tứ giác MHCE là tứ giác nội tiếp.

b)  Chứng minh tứ giác \(ACMD\) là hình thoi và ba điểm \(E,M,D\) thẳng hàng.

Vì H là trung điểm của AM và CD vuông góc AM tại H nên CD là đường trung trực của AM. Theo tính chất đường trung trực ta có CM = CA và DM = DA (3)

Xét DCOD có OC = OD nên DCOD cân tại O.

Tam giác cân COD có OH là đường cao đồng thời cũng là đường trung trực.

Vậy AM là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Theo tính chất đường trung trực ta có CM = DM (4)

Từ (3) và (4) ta có: CM = CA = DA = DM. Vậy tứ giác ACMD là hình thoi.

Ta có \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[(O)\] nên \[\widehat {ACB} = 90^\circ  \Rightarrow AC \bot BC\].

Ta có AC ^ BC mà DM // AC (tính chất hình thoi) nên DM ^ BC.

Vì DM ^ BC và ME ^ BC nên ba điểm D, M, E cùng thuộc một đường thẳng (theo tiên đề Ơ-clit).

Vậy ba điểm D, M, E thẳng hàng.