Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 13 cm và diện tích bằng \(30{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\). Lập phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đã cho.

Chứng minh :

a)Do \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên \(\Delta KEB\) vuông tại E . Khi đó \(K,E,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính KB.
Tương tự \(\Delta KIB\) vuông tại I nên \(K,I,B\) cũng thuộc đường tròn đường kính KB.
Suy ra \({\rm{K}},{\rm{E}},{\rm{B}},{\rm{I}}\) cùng thuộc đường tròn đường kính KB .
Chứng tỏ tứ giác KEBI là tứ giác nội tiếp.
b) Xét \(\Delta AKI\) và \(\Delta ABE\) có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat {{\rm{BAE}}}{\rm{\;g\'o c\;chung\;}}}\\{\widehat {{\rm{AIK}}} = \widehat {{\rm{AEB}}} = 90^\circ }\end{array}} \right.\)

Suy ra  (g.g)
Khi đó \(\frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{AE}}}}\) (cặp cạnh tương ứng) hay \({\rm{AE}}.{\rm{AK}} = {\rm{AI}}.{\rm{AB}}\) (đpcm)
c) Xét \(\Delta ABP\) có \({\rm{AE}} \bot {\rm{PB}};{\rm{PI}} \bot {\rm{AB}},{\rm{AE}}\) và PI cắt nhau tại K nên K là trực tâm của

Suy ra \({\rm{BK}} \bot {\rm{AP}}\) tại Q (tính chất đồng quy của 3 đường cao)
Khi đó \(\Delta PQK\) vuông tại \(Q\) nên \(P,Q,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(PK\)
Tương tự \(\Delta PEK\) vuông tại E nên \({\rm{P}},{\rm{E}},{\rm{K}}\) cùng thuộc đường tròn đường kính PK
Vậy \({\rm{P}},{\rm{Q}},{\rm{K}},{\rm{E}}\) cùng thuộc đường tròn đường kính PK .
Gọi M là trung điểm của PK . Khi đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp
Ta có \({\rm{MP}} = {\rm{MQ}}\) nên \(\Delta MPQ\) cân tại M nên \(\widehat {{\rm{MQP}}} = \widehat {{\rm{MPQ}}}\) (1)
Do \({\rm{BQ}} \bot {\rm{AQ}}\,\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\) nên \(\Delta ABQ\) vuông tại Q , trung tuyến OQ nên \({\rm{OQ}} = {\rm{OA}} = {\rm{OB}}\)
Suy ra \(\Delta {\rm{OQA}}\) cân tại O nên \(\widehat {{\rm{OQA}}} = \widehat {{\rm{OAQ}}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {{\rm{MQP}}} + \widehat {{\rm{OQA}}} = \widehat {{\rm{MPQ}}} + \widehat {{\rm{OAQ}}} = 90^\circ \) (do  vuông tại I )
Suy ra \(\widehat {{\rm{OQM}}} = 180^\circ - \left( {\widehat {{\rm{MQP}}} + \widehat {{\rm{OQA}}}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
Suy ra \({\rm{OQ}} \bot {\rm{MQ}}\) tại \({\rm{Q}} \Rightarrow {\rm{Q}} \in \left( {\rm{M}} \right)\)

Gọi giá niêm yết của mỗi quyển vở và mỗi cây bút lần lượt là x , y (đồng), với \(0 < {\rm{x}},{\rm{y}} < 22\,\,400\,\,000\,)\) Nhà trường dự tính mua 1400 quyển vở và 700 cây bút với giá niêm yết, tổng cộng sẽ cần 22 triệu 400 nghìn đồng nên ta có phương trình:

\(1400x + 700y = 22\,\,400\,\,000\) hay \(2x + y = 32.000\left( 1 \right)\)

Nhà sách Y đã giảm giá \(5{\rm{\% }}\) cho mỗi quyển vở và \(10{\rm{\% }}\) cho mỗi cây bút, vì thế nhà trường chỉ cần trả 21 triệu đồng nên ta có phương trình:

\(1400{\rm{x}}.\left( {100{\rm{\% }} - 5{\rm{\% }}} \right) + 700{\rm{y}}.\left( {100{\rm{\% }} - 10{\rm{\% }}} \right) = 21\,\,000\,\,000\) hay \(19x + 9y = 300\,\,000 & \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = 32\,\,000\left( 1 \right)}\\{19x + 9y = 300\,\,000\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình: Từ phương trình (1), ta có: \({\rm{y}} = 32.000 - 2{\rm{x}}\) (3)

Thay (3) vào (2): \(19x + 9\left( {32\,\,000 - 2x} \right) = 300\,\,000\)

Hay \(19x + 288\,\,000 - 18x = 300\,\,000\)

Hay \(x + 288\,\,000 = 300\,\,000\) hay \(x = 12.000\) (Chọn )

Thay \(x = 12.000\) vào (3): \({\rm{y}} = 32\,\,000 - 2 \cdot 12\,\,000 = 8\,\,000\) (Chọn )