Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x - 3y = - 1\end{array} \right.\).

Gọi \(x\;\left( m \right),\;y\;\left( m \right)\) là các kích thước của hàng rào như trong hình \(x > 0,\;y > 0\).

Nếu có \(100\) mét hàng rào bao quanh ba mặt như hình thì \(x + y + y = 100\) hay \(x = 100 - 2y\).

Khi đó, diện tích của khu vực bảo vệ là \(S = xy = \left( {100 - 2y} \right)y = 2\left( {50 - y} \right)y\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có \(\left( {50 - y} \right)y \le {\left( {\frac{{50 - y + y}}{2}} \right)^2}\).

Suy ra \(S \le 1250\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(50 - y = y\) hay \(y = 25\).

Vậy diện tích tối đa của khu vực bảo vệ là \(1250\) mét vuông.

a)   Với \(x \ge 0;\;x \ne 1\) thì ta có

\(\frac{{x - 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {1^2}}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}} = \sqrt x  + 1\)

và \(\frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + \sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}} = \sqrt x \).

Vậy \(A = \sqrt x  + 1 + \sqrt x  = 2\sqrt x  + 1\).

b)  Với \(x = \sqrt[3]{{27}} - \sqrt 4  = \sqrt[3]{{{3^3}}} - \sqrt {{2^2}}  = 3 - 2 = 1\) thì không thỏa mãn điều kiện \(x \ne 1\) nên khi đó \(A\) vô nghĩa.