Người ta dự định làm một bồn chứa nước bằng inox có dạng hình trụ, cao\(1,8m\), bán kính đường tròn đáy là \(0,6m\). Tính thể tích của bồn. (Bỏ qua bề dày của bồn).

Đặt \[BC = x\]

Khi đó \(AB = 2\sqrt {25 - {x^2}} \)

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

\(S = CD.AB = x.2\sqrt {25 - {x^2}} = 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \,(c{m^2})\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:

\({x^2} + \left( {25 - {x^2}} \right) \ge 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \) hay \(25 \ge 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \)

Hay \(S = 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \le 25\)

Dấu bằng xảy ra khi \({x^2} = 25 - {x^2}\) suy ra \({x^2} = \frac{{25}}{2}\)hay \(x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy diện tích lớn nhát của hình chữ nhật là \(25\,c{m^2}\) khi \(x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

\(\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^2}} = \left| {3 - \sqrt 5 } \right| + \left| {\sqrt 5 + 2} \right| = 3 - \sqrt 5 + \sqrt 5 + 2 = 5\,\,\,\left( {vì,\,3 > \sqrt 5 \,} \right)\)