Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 4\\3x + y = 1\end{array} \right.\].

Ta có \[\Delta  = {\left( { - m} \right)^2} - 4.\;1.\;\left( { - 3} \right)\]\[ = {m^2} + 12\]

Do \[\Delta  > 0\] với \[\forall \,\,m \in \mathbb{R}\] do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}\],\[{x_2}\].

Theo định lý Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} =  - 3\end{array} \right.\]

Vì \[{x_2}\] là nghiệm của phương trình đã cho nên \[x_2^2 - m{x_2} - 3 = 0\] hay \[x_2^2 = m{x_2} + 3\]

Khi đó \[H = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 5}}{{m{x_2} + 3 + m{x_1} - {x_1}{x_2}}}\]\[ = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 5}}{{m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3 - {x_1}{x_2}}}\]\[ = \frac{{2m + 5}}{{{m^2} + 6}}\]

Ta có \[H - 1 = \frac{{2m + 5}}{{{m^2} + 6}} - 1\]\[ = \frac{{2m + 5 - {m^2} - 6}}{{{m^2} + 6}}\]\[ = \frac{{ - {m^2} + 2m - 1}}{{{m^2} + 6}}\]\[ = \frac{{ - {{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 6}}\]

Vì \[ - {\left( {m - 1} \right)^2} \le 0\], \[{m^2} + 6 > 0\] với \[\forall \,\,m \in \mathbb{R}\] nên \[\frac{{ - {{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 6}} \le 0\] hay \[H - 1 \le 0\] do đó \[H \le 1\]

Dấu \['' = ''\] xảy ra khi và chỉ khi \[m = 1\].

Vậy \[m = 1\] thì \[H = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 5}}{{x_2^2 + m{x_1} - {x_1}{x_2}}}\] đạt giá trị lớn nhất là \[1\].

Gọi chiều rộng của sân trường là \[x\,\left( {\rm{m}} \right)\]( Điều kiện: \[x > 0\])

Vì chiều dài của sân trường hình chữ nhật lớn hơn chiều rộng \[16\,{\rm{m}}\] nên chiều dài của sân trường là: \[x + 16\;\left( {\rm{m}} \right)\].

Vì hai lần chiều dài nhỏ hơn \[5\] lần chiều rộng \[100\,{\rm{m}}\] nên ta có phương trình:

            \[5x - 2\left( {x + 16} \right) = 100\]

\[5x - 2x - 32 = 100\]

\[3x = 132\]

\[x = 44\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Suy ra chiều dài của sân trường là:  \[44 + 16 = 60\,\left( {\rm{m}} \right)\]