Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\). Trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(C\) sao cho \(CA < CB\), kẻ \(CD\) vuông góc với \(AB\), \(D\) thuộc \(AB\). Gọi \(F\) là một điểm trên đoạn \(CD\) ( \(F\) khác \(C\) và \(D\) ), tia \(AF\) cắt nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\).
a) Chứng minh tứ giác \[DFEB\] là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(O\) xuống \(AE\) và \(BF\); \(H\) là giao điểm cùa \(BE\) và \(DF\); \(I\) là trung diểm cùa \(HF\). Chứng minh \(OI\) đi qua trung điểm của \[MN\] ,

a) Chứng minh tứ giác \[DFEB\] là tứ giác nội tiếp.
Ta có \(DF \bot AB\) nên \(\Delta DFB\) vuông tại \[D\]

Suy ra \(D\), \(F\), \(B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[FB\]
Ta có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta FBE\) vuông tại \[E\]
Suy ra \(D\), \(E\), \(B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[FB\]
Vậy \(D\), \(E\), \(B\), \(F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[FB\] hay \[DFEB\] là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(OI\) đi qua trung điểm của \[MN\].

Gọi \(K\) là giao điểm của \(HA\) và \(\left( O \right)\)

Khi đó \(AE\), \(HD\), \(BK\) là các đường cao của tam giác \(HAB\)
Do đó \(AE\), \(HD\), \(BK\) đồng quy tại \(F\) hay \(B\), \(F\), \(K\) thẳng hàng
Vì \(\Delta HKF\) vuông tại \(K\), \(\Delta HEF\) vuông tại \(E\) nên \(H\), \(K\), \(F\), \(E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(HF\)
Suy ra \(KI = IE\)
Do đó \(I\) thuộc đường trung trực của \(EK\)
Mà \(O\) thuộc đường trung trực của \(EK\) (do \(OE = OK\) )
Nên \(OI\) là trung trực của \(EK\)
Gọi \(L\) là giao điểm của \(OI\) và \(EK\). Khi đó \(L\) là trung điểm của \(EK\)
Mà \(M\) là trung điểm của \(AE\) nên \(ML\) là đường trung bình của \(\Delta AKE\)
Do đó \(ML\,{\rm{//}}\,AK\), \(ML = \frac{1}{2}AK\;\;\left( 1 \right)\)
Tương tự \(ON\,{\rm{//}}\,AK\), \(ON = \frac{1}{2}AK\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \[MLNO\] là hình bình hành
Do đó \(OL\) đi qua trung điểm của \(MN\).