Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 60^\circ ,AC = 2,5\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BM} \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 6} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \left( { - 2} \right) \cdot 0 + 3 \cdot \left( { - 6} \right) =  - 18\).

b) \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{ - 18}}{{\sqrt {13}  \cdot \sqrt {36} }} =  - \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}\).

c) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {DC}  = \left( {2 - x; - 2 - y} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3} \right)\).

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x =  - 2\\ - 2 - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 5\end{array} \right.\).

Vậy \(D\left( {4; - 5} \right)\).

d) Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm tam giác \(ABC\).

Ta có \(\overrightarrow {AH}  = \left( {x - 4;y - 1} \right),\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 2;y - 4} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 6} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 3} \right)\).

Do \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0\left( {x - 4} \right) - 6\left( {y - 1} \right) = 0\\ - 2\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 4} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13}}{2}\\y = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{{13}}{2};1} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Đúng;    d) Đúng.

Lời giải

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{F_1}{F_2} = 2c = 6\\M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 3\\a = 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = \sqrt {25 - 9}  = 4\).

Vậy phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Gọi hình chữ nhật nội tiếp elip có tọa độ các đỉnh lần lượt là \(\left( {x;y} \right);\left( {x; - y} \right);\left( { - x;y} \right);\left( { - x; - y} \right)\) với \(x,y > 0\).

Khi đó diện tích hình chữ nhật là \(S = 2x \cdot 2y = 4xy\).

Vì \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow y = 4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \). Do đó \(S = 16x\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \)\( = \frac{{16}}{5}\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \).

Ta có \(\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)}  \le \frac{{{x^2} + 25 - {x^2}}}{2} = \frac{{25}}{2}\) (Áp dụng bất đẳng thức Côsi).

Do đó \(S \le \frac{{16}}{5} \cdot \frac{{25}}{2} = 40\).

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật dùng để trồng hoa là 40 m2.

Trả lời: 40.