Cho \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 2} \right)\). Với giá trị nào của \(y\) thì \(\overrightarrow b  = \left( { - 3;y} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow a \)?

Lời giải

Có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 1;y - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1} \right)\).

Vì \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc tia \(AB\) nên \(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AB} ,k > 0\).

Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}}\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\{\left( {2y - 6} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\5{y^2} - 30y - 35 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\\left[ \begin{array}{l}y = 7\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x =  - 7\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( { - 8; - 4} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 7\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {8;4} \right)\end{array} \right.\).

\(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AB} ,k > 0\) nên \(M\left( { - 7; - 1} \right)\). Do đó \(x =  - 7;y =  - 1\). Vậy \(x + y =  - 8\).

Trả lời: −8.

Lời giải

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - x; - 4 - y} \right),\overrightarrow {IB}  = \left( { - 2 - x;2 - y} \right),\overrightarrow {IC}  = \left( { - 5 - x;4 - y} \right)\).

Theo bài ta có \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x + 2\left( { - 2 - x} \right) + 3\left( { - 5 - x} \right) = 0\\ - 4 - y + 2\left( {2 - y} \right) + 3\left( {4 - y} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x - 4 - 2x - 15 - 3x = 0\\ - 4 - y + 4 - 2y + 12 - 3y = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x - 18 = 0\\ - 6y + 12 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( { - 3;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {MI}  + 3\overrightarrow {IC} \)\( = 6\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = 6\overrightarrow {MI} \).

Do \(\left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất.

Lại có \(M \in Ox\) nên \(MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\left( { - 3;2} \right)\) trên \(Ox\).

Suy ra tọa độ \(M\left( { - 3;0} \right)\). Vậy \(T =  - 6\).

Trả lời: −6.