Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có các đỉnh thỏa mãn \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i  - \overrightarrow j \), \(\overrightarrow {OB}  = 3\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j \), \(\overrightarrow {OC}  =  - 5\overrightarrow i \).

Lời giải

a) \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i  - \overrightarrow j \)\(\overrightarrow {DB}  =  - \frac{3}{5}\overrightarrow {DC} \); \(\overrightarrow {OB}  = 3\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j  \Rightarrow B\left( {3;4} \right)\); \(\overrightarrow {OC}  =  - 5\overrightarrow i  \Rightarrow C\left( { - 5;0} \right)\).

b) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Có \(\overrightarrow {AD}  = \left( {x - 1;y + 1} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 8; - 4} \right)\).

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 8\\y + 1 =  - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 7\\y =  - 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( { - 7; - 3} \right)\).

c) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;5} \right)\).

d) \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \(MA\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2{x_B} - {x_A}\\{y_M} = 2{y_B} - {y_A}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 \cdot 3 - 1\\b = 2 \cdot 4 - \left( { - 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 9\end{array} \right.\).

Khi đó \(2a - b = 1\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;     c) Đúng;     d) Đúng.