Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {3;0} \right),B\left( {2; - 1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :2x - y + 8 = 0\).

Lời giải

a) Giả sử \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).

Vì Elip đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{{{a^2}}} = 1\\\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1,8\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{1,8}} = 1\).

b) Phương trình đường tròn tâm \(B\) và có bán kính \(R = 6\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 36\).

c) \(R = d\left( {B,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 2 - \left( { - 1} \right) + 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{\sqrt 5 }}\).

Phương trình đường tròn tâm \(B\) và tiếp xúc với \(\Delta \) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{169}}{5}\).

d) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\).

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\I \in \Delta \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I \in \Delta \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2}\\2a - b + 8 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 2b = 4\\2a - b =  - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 4\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( { - 2;4} \right)\). Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{\left( {3 + 2} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {41} \).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Sai.