Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A\left( {3;4} \right),B\left( { - 1;2} \right),C\left( {0;1} \right)\). Biết rằng tồn tại duy nhất điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) để biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\).

Lời giải

Tọa độ trung điểm \(M\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \left( { - 3} \right)}}{2} = 1\\y = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {BM}  = \left( {0; - 4} \right)\). Vậy \(BM = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 4\).

Trả lời: 4.

Lời giải

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - x; - 4 - y} \right),\overrightarrow {IB}  = \left( { - 2 - x;2 - y} \right),\overrightarrow {IC}  = \left( { - 5 - x;4 - y} \right)\).

Theo bài ta có \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x + 2\left( { - 2 - x} \right) + 3\left( { - 5 - x} \right) = 0\\ - 4 - y + 2\left( {2 - y} \right) + 3\left( {4 - y} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x - 4 - 2x - 15 - 3x = 0\\ - 4 - y + 4 - 2y + 12 - 3y = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x - 18 = 0\\ - 6y + 12 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( { - 3;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {MI}  + 3\overrightarrow {IC} \)\( = 6\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = 6\overrightarrow {MI} \).

Do \(\left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất.

Lại có \(M \in Ox\) nên \(MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\left( { - 3;2} \right)\) trên \(Ox\).

Suy ra tọa độ \(M\left( { - 3;0} \right)\). Vậy \(T =  - 6\).

Trả lời: −6.