Một tháp triển lãm có mặt cắt hình hypebol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{18}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{36}^2}}} = 1\). Cho biết chiều cao của tháp là 100 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp (đơn vị m) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - x; - 4 - y} \right),\overrightarrow {IB}  = \left( { - 2 - x;2 - y} \right),\overrightarrow {IC}  = \left( { - 5 - x;4 - y} \right)\).

Theo bài ta có \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x + 2\left( { - 2 - x} \right) + 3\left( { - 5 - x} \right) = 0\\ - 4 - y + 2\left( {2 - y} \right) + 3\left( {4 - y} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x - 4 - 2x - 15 - 3x = 0\\ - 4 - y + 4 - 2y + 12 - 3y = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x - 18 = 0\\ - 6y + 12 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( { - 3;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {MI}  + 3\overrightarrow {IC} \)\( = 6\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = 6\overrightarrow {MI} \).

Do \(\left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất.

Lại có \(M \in Ox\) nên \(MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\left( { - 3;2} \right)\) trên \(Ox\).

Suy ra tọa độ \(M\left( { - 3;0} \right)\). Vậy \(T =  - 6\).

Trả lời: −6.

Lời giải

a) Giả sử \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).

Vì Elip đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{{{a^2}}} = 1\\\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1,8\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{1,8}} = 1\).

b) Phương trình đường tròn tâm \(B\) và có bán kính \(R = 6\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 36\).

c) \(R = d\left( {B,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 2 - \left( { - 1} \right) + 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{\sqrt 5 }}\).

Phương trình đường tròn tâm \(B\) và tiếp xúc với \(\Delta \) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{169}}{5}\).

d) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\).

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\I \in \Delta \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I \in \Delta \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2}\\2a - b + 8 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 2b = 4\\2a - b =  - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 4\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( { - 2;4} \right)\). Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{\left( {3 + 2} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {41} \).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Sai.