Cho tam giác\(ABC\) có \(A\left( { - 3;2} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {1; - 2} \right)\).

a) Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và độ dài đoạn thẳng \(AB\).

b) Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).

c) Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc trục hoành sao cho \(AM + MC\) ngắn nhất.

Lời giải

Có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3x + y - 8 = 0\).

Vì \(C \in d \Rightarrow C\left( {t;2t - 8} \right)\).

Ta có \(AB = \sqrt {10} \) mà \({S_{\Delta ABC}} = 2 \Rightarrow d\left( {C,AB} \right) = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\).

Khi đó \(\frac{{\left| {3t + \left( {2t - 8} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {5t - 16} \right| = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = \frac{{12}}{5}\end{array} \right.\).

Với \(t = 4 \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\) (loại).

Với \(t = \frac{{12}}{5} \Rightarrow C\left( {\frac{{12}}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)\). Do đó \(a + 2b =  - 4\).

Trả lời: −4.

Lời giải

Đường thẳng \(d\) song song với \(d'\) có dạng \(x + y + c = 0,c \ne  - 1\).

Vì \(d\) đi qua \(M\left( {1;1} \right)\) nên \(1 + 1 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 2\) (thỏa mãn).

Vậy \(d:x + y - 2 = 0\). Chọn C.