Biểu diễn \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,b\) là các số nguyên. Tính \(a + b\).

\[{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} = {3^5} + 5 \cdot {3^4} \cdot \left( {\sqrt 2 } \right) + 10 \cdot {3^3} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 10 \cdot {3^2} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5 \cdot 3 \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\]

\[ = 243 + 405\sqrt 2 + 540 + 180\sqrt 2 + 60 + 4\sqrt 2 \]\[ = 843 + 589\sqrt 2 \].

\[{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5} = {3^5} - 5 \cdot {3^4} \cdot \left( {\sqrt 2 } \right) + 10 \cdot {3^3} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 10 \cdot {3^2} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5 \cdot 3 \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^4} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\]

\[ = 243 - 405\sqrt 2 + 540 - 180\sqrt 2 + 60 - 4\sqrt 2 \]\[ = 843 - 589\sqrt 2 \].

Vậy \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5}\)\[ = 843 + 589\sqrt 2 - \left( {843 - 589\sqrt 2 } \right) = 1178\sqrt 2 \].

Suy ra \(a = 0;b = 1178\). Vậy \(a + b = 1178\).