Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB\) và \(CD\), \(CD = 2AB\). Biết \(C\left( {4;7} \right),D\left( {2;6} \right)\) và điểm \(E\left( {8;3} \right)\) là giao điểm của hai đường chéo hình thang. Tọa độ điểm \(A\left( {a;b} \right)\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\).

a) Điểm \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(I\left( {0; - 2} \right)\).

b) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 2} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.

c) Tọa độ điểm \(C'\left( { - 2; - 3} \right)\) đối xứng với điểm \(C\) qua trục \(Oy\).

d) Dễ thấy \(B,C\) nằm cùng phía với trục \(Oy\).

Gọi \(C'\left( { - 2; - 3} \right)\) đối xứng với điểm \(C\) qua trục \(Oy\).

Khi đó \(CN = C'N\).

Do đó \(BN + CN = BN + C'N \ge BC'\).

Để \(BN + CN\) bé nhất thì \(N\) là giao điểm của \(BC'\) với \(Oy\) hay \(B,N,C'\) thẳng hàng

Vì \(N \in Oy \Rightarrow N\left( {0;b} \right)\).

Có \(\overrightarrow {NB} = \left( {1;3 - b} \right);\overrightarrow {C'B} = \left( {3;6} \right)\).

Để \(B,N,C'\) thẳng hàng thì \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {C'B} \) cùng phương hay \(\frac{1}{3} = \frac{{3 - b}}{6} \Rightarrow b = 1\).

Vậy điểm \(N\) có tung độ là 1.

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;    c) Đúng;    d) Đúng.

Do \(B\) là trọng tâm của tam giác \(ACD\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - 1 + a}}{3} = - 2\\\frac{{1 - 5 + b}}{3} = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = 13\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 6;13} \right)\).

Vậy \(a + 2b = - 6 + 2 \cdot 13 = 20\).