Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\left( {a;b;c \in \mathbb{N};a < 2} \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:3x - y + 4 = 0\) và \(\Delta \) cách \(A\left( {3;2} \right)\) một khoảng \(2\sqrt {10} \). Tính giá trị biểu thức \(T = 3a + b + 4c.\)

Đường thẳng \(d \bot \Delta \) nên \(d\) nhận vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)\) của đường thẳng \(\Delta \) làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {5;3} \right)\).

Khi đó \(d\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\). Chọn B.

Dễ thấy \(A,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d\).

Khi đó \(AM + MB \ge AB\).

Do đó đường đi ngắn nhất khi 3 điểm \(A,B,M\) thẳng hàng.

Suy ra \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương.

Ta có \(M \in d \Rightarrow M\left( {t; - 5 - 2t} \right)\), \(\overrightarrow {AM} = \left( {t - 1; - 2t - 2} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;5} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương nên \(\frac{{t - 1}}{{ - 5}} = \frac{{ - 2t - 2}}{5}\)\( \Leftrightarrow 5\left( {t - 1} \right) - \left( { - 2t - 2} \right) \cdot \left( { - 5} \right) = 0 \Rightarrow t = - 3\)\( \Rightarrow M\left( { - 3;1} \right)\).

Do đó \(a + b = - 2\).