Cho hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3{\left( {m - 1} \right)^2}x\). Hàm số đạt cực trị tại điểm có hoành độ \(x = 1\) khi

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 3{\left( {m - 1} \right)^2}\).

Hàm số đạt cực trị tại điểm có hoành độ \(x = 1\) thì \(y'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 3 - 6\left( {m + 1} \right) + 3{\left( {m - 1} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow 3{m^2} - 12m = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\).

Thử lại:

Với \(m = 0\), \(y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) nên hàm số không có điểm cực trị. Vậy loại \(m = 0\).

Với \(m = 4\), \(y' = 3{x^2} - 30x + 27\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 9\end{array} \right.\) nên hàm số đạt cực trị tại điểm có hoành độ \(x = 1\). Vậy nhận \(m = 4\). Chọn C.