PHẦN II. TỰ LUẬN

1) Bạn An muốn thu thập dữ liệu về số các bạn nữ ở tất cả các lớp trong khối 8 của trường.

a) Bạn An có thể thu thập bằng phương pháp nào?

b) Dữ liệu thu được thuộc loại nào?

2) Sau khi thu thập bạn có được dữ liệu về số học sinh nữ trong từng lớp của khối 8 như biểu đồ dưới đây:

a) Biết tổng số học sinh nữ của khối lớp 8 là 100 học sinh, lập bảng thống kê số học sinh nữ trong từng lớp của khối 8 và hoàn thành biểu đồ cột theo mẫu sau:

b) Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng thể hiện bảng thống kê trên.

a) Xét \(\Delta ABM\) có \(MD\) là đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) nên \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{DA}}{{DB}}\) \(\left( 1 \right)\) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Xét \[\Delta ACM\] có \(ME\) là đường phân giác của \(\widehat {AMC}\) nên \(\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{EA}}{{EC}}\) \(\left( 2 \right)\) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Do \(AM\) là đường trung tuyến của \[\Delta ABC\] nên \(M\) là trung điểm của \(BC,\) hay \(MB = MC = \frac{1}{2}BC.\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}.\)

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có \(\frac{{DA}}{{DA + DB}} = \frac{{EA}}{{EA + EC}},\) hay \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) suy ra \(AD \cdot AC = AE \cdot AB.\)

Xét \[\Delta ABC\] có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) theo định lí Thalès đảo ta có \[DE\,{\rm{//}}\,BC.\]

b) Xét \(\Delta ABM\) có \(DI\,{\rm{//}}\,BM,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{AI}}{{AM}}.\)

Xét \[\Delta ACM\] có \(IE\,{\rm{//}}\,MC,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \[\frac{{IE}}{{MC}} = \frac{{AI}}{{AM}}.\]

Do đó \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{IE}}{{MC}}.\)

Mà \(MB = MC\) (chứng minh ở câu a) nên \(DI = IE,\) hay \[I\] là trung điểm của \(DE.\)

c) Ta có \(MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15{\rm{\;cm}}.\)

Theo câu a, ta có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}},\) suy ra \[\frac{{DA}}{{DA + DB}} = \frac{{MA}}{{MA + MB}} = \frac{{10}}{{10 + 15}} = \frac{{10}}{{25}} = \frac{2}{5}.\]

Do đó \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{5}.\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(DE\,{\rm{//}}\,BC,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{5}.\)

Suy ra \(DE = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12{\rm{\;cm}}.\)

d) Để \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) thì \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC.\)

Xét \(\Delta ABM\) có \(MD\) vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên là tam giác cân tại \(M.\) Suy ra \(MA = MB\) (tính chất tam giác cân).

Tương tự, ta cũng chứng minh được \(MA = MC.\)

Do đó \(MA = MB = MC = \frac{1}{2}BC.\)

Xét \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AM\) bằng nửa cạnh \(BC\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\)

Vậy \(\Delta ABC\) phải là tam giác vuông tại \(A\) thì \(DE\) là đường trung bình của tam giác đó.