Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(ABCD\) là hình bình hành biết \(B\left( {1;3} \right),D\left( { - 3;5} \right)\). Tọa độ tâm \(O\) của hình bình hành là

Do \(B\) là trọng tâm của tam giác \(ACD\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - 1 + a}}{3} = - 2\\\frac{{1 - 5 + b}}{3} = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = 13\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 6;13} \right)\).

Vậy \(a + 2b = - 6 + 2 \cdot 13 = 20\).

Ta có \({S_{ABCD}} = 3{S_{ABD}} \Rightarrow {S_{BDC}} = 2{S_{ABD}}\)\( \Rightarrow \frac{{BC}}{{AD}} = 2\).

Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AD} = \left( {x - 2;y + 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 7; - 3} \right)\).

Lại có \(ABCD\) là hình thang nên \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.

Do đó \(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AD} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 2} \right) = - 7\\2\left( {y + 1} \right) = - 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x - y = - \frac{3}{2} - \left( { - \frac{5}{2}} \right) = 1\).