Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 3 + t\end{array} \right.\) và \({d_2}:x + 3y - 10 = 0\).

Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d\) nên có dạng: \(x + 3y + c = 0\).

Lại có \(d\left( {A,\Delta } \right) = 2\sqrt {10} \) nên \(\frac{{\left| {3 + 3 \cdot 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = 2\sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow \left| {9 + c} \right| = 20\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 + c = 20\\9 + c = - 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 11\\c = - 29\end{array} \right.\).

Vì \(a;b;c \in \mathbb{N};a < 2\) nên \(x + 3y + 11 = 0\).

Do đó \(a = 1;b = 3;c = 11\). Vậy \(T = 3 \cdot 1 + 3 + 4 \cdot 11 = 50\).

Vì \(\Delta \) song song với \(d\) nên ta có \(\Delta :3x + 4y + c = 0\).

Lại có \(d\left( {A,\Delta } \right) = 1\) nên \(\frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {7 + c} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7 + c = 5\\7 + c = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = - 2\\c = - 12\end{array} \right.\).

Mà \(c > - 5\) nên \(c = - 2\).

Vậy \(3x + 4y - 2 = 0\).

Suy ra \(b = 4;c = - 2\). Vậy \(b + c = 2\).