Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + y - 1 = 0\), \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\end{array} \right.\) và điểm \(N\left( {1;4} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + y - 1 = 0\), \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\end{array} \right.\) và điểm \(N\left( {1;4} \right)\).
a) Khoảng cách từ điểm \(N\) đến đường thẳng \({\Delta _1}\) bằng \(\frac{4}{{\sqrt 5 }}\).
b) Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \(\frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
c) Đường thẳng \({\Delta _2}\) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\frac{9}{2}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \(d\left( {N,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5 \).
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\left( {1; - 1} \right)\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
c) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt \(Ox\) tại \(C\left( {3;0} \right)\) và cắt \(Oy\) tại \(D\left( {0;3} \right)\).
Khi đó \({S_{\Delta COD}} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}\).
d) Giả sử \(\Delta \) cắt tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) với \(a > 0,b > 0\).
Khi đó phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
Vì \(\Delta \) đi qua \(N\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:
\(\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\frac{1}{{\sqrt a }} \cdot \sqrt a + \frac{2}{{\sqrt b }} \cdot \sqrt b } \right)^2} = 9\)\( \Rightarrow a + b \ge 9\) hay \(OA + OB \ge 9\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(OA + OB\) bằng 9.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d\) nên có dạng: \(x + 3y + c = 0\).
Lại có \(d\left( {A,\Delta } \right) = 2\sqrt {10} \) nên \(\frac{{\left| {3 + 3 \cdot 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = 2\sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow \left| {9 + c} \right| = 20\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 + c = 20\\9 + c = - 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 11\\c = - 29\end{array} \right.\).
Vì \(a;b;c \in \mathbb{N};a < 2\) nên \(x + 3y + 11 = 0\).
Do đó \(a = 1;b = 3;c = 11\). Vậy \(T = 3 \cdot 1 + 3 + 4 \cdot 11 = 50\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Vì \(\Delta \) song song với \(d\) nên ta có \(\Delta :3x + 4y + c = 0\).
Lại có \(d\left( {A,\Delta } \right) = 1\) nên \(\frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {7 + c} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7 + c = 5\\7 + c = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = - 2\\c = - 12\end{array} \right.\).
Mà \(c > - 5\) nên \(c = - 2\).
Vậy \(3x + 4y - 2 = 0\).
Suy ra \(b = 4;c = - 2\). Vậy \(b + c = 2\).
Câu 3
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)\).
b) Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1} \right)\).
c) Điểm \(A\left( {1;1} \right)\) nằm trên đường thẳng \(d:3x - 4y + 2 = 0\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _3}\) là \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2;2} \right)\).
b) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _1}\) có tọa độ là \(\left( {2;5} \right)\).
c) Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập