Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}: - 3x + 6y - 10 = 0\).

Ta có \(\overrightarrow n = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\) và \(\overrightarrow {n'} = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) và \(\Delta '\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) nên ta có

\(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + \left( { - \sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }}\)\( = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \varphi = 60^\circ \).

Hai đường đi của hai tàu có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 33;25} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 30; - 40} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường đi của hai tàu.