Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba đường thẳng \({\Delta _1}:2x - 5y + 1 = 0\), \({\Delta _2}:x + 3y - 5 = 0\) và \({\Delta _3}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3t\end{array} \right.\).

Ta có \(\overrightarrow n = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\) và \(\overrightarrow {n'} = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) và \(\Delta '\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) nên ta có

\(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + \left( { - \sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }}\)\( = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \varphi = 60^\circ \).

Vì \(\Delta \) song song với \(d\) nên ta có \(\Delta :3x + 4y + c = 0\).

Lại có \(d\left( {A,\Delta } \right) = 1\) nên \(\frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {7 + c} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7 + c = 5\\7 + c = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = - 2\\c = - 12\end{array} \right.\).

Mà \(c > - 5\) nên \(c = - 2\).

Vậy \(3x + 4y - 2 = 0\).

Suy ra \(b = 4;c = - 2\). Vậy \(b + c = 2\).