Có hai con tàu \(A,B\) xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính bằng km), tại thời điểm \(t\) (giờ), vị trí của tàu \(A\) có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 33t\\y =  - 4 + 25t\end{array} \right.\), vị trí tàu \(B\) có tọa độ là \(\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\). Tính góc giữa hai đường đi của hai tàu \(A,B\) (đơn vị độ, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d\) nên có dạng: \(x + 3y + c = 0\).

Lại có \(d\left( {A,\Delta } \right) = 2\sqrt {10} \) nên \(\frac{{\left| {3 + 3 \cdot 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = 2\sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow \left| {9 + c} \right| = 20\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 + c = 20\\9 + c = - 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 11\\c = - 29\end{array} \right.\).

Vì \(a;b;c \in \mathbb{N};a < 2\) nên \(x + 3y + 11 = 0\).

Do đó \(a = 1;b = 3;c = 11\). Vậy \(T = 3 \cdot 1 + 3 + 4 \cdot 11 = 50\).

a) \(d\left( {N,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5 \).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\left( {1; - 1} \right)\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).

c) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt \(Ox\) tại \(C\left( {3;0} \right)\) và cắt \(Oy\) tại \(D\left( {0;3} \right)\).

Khi đó \({S_{\Delta COD}} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}\).

d) Giả sử \(\Delta \) cắt tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) với \(a > 0,b > 0\).

Khi đó phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

Vì \(\Delta \) đi qua \(N\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:

\(\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\frac{1}{{\sqrt a }} \cdot \sqrt a + \frac{2}{{\sqrt b }} \cdot \sqrt b } \right)^2} = 9\)\( \Rightarrow a + b \ge 9\) hay \(OA + OB \ge 9\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(OA + OB\) bằng 9.

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Đúng;    d) Đúng.