Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi \[M,\,\,N\] lần lượt là hai điểm thuộc \(A'C\) và \(BC'\) sao cho \[MN\] là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Tính tỉ số \(\frac{{NB}}{{NC'}}\) (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án  ____

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {CM} = m\overrightarrow {CA'} }\\{\overrightarrow {BN} = n\overrightarrow {BC'} }\end{array}} \right.\) nên ta có \(M\left( { - 1 + m\,;\,\, - \sqrt 3 m\,;\,\,2m} \right),N\left( {1 - 2n\,;\,\,0\,;\,\,2n} \right).\)

Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( { - m - 2n + 2\,;\,\,\sqrt 3 m\,;\,\,2n - 2m} \right).\)

Đường thẳng \[MN\] là đường vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC'\) nên

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {CA'} = 0\\\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BC'} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + n = - 1\\ - m + 4n = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{2}{5}}\\{n = \frac{3}{5}}\end{array}} \right.\]\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{BC'}} = n = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{{NB}}{{NC'}} = \frac{3}{2}.\)

Đáp án cần nhập là: 1,5.