Gọi \(I\) là một điểm tùy ý nằm trên parabol \(y = {x^2}\) và \(N\) là điểm đối xứng với điểm \(O\) (gốc tọa độ) qua điểm \(I\). Khi \(I\) di chuyển trên parabol thì \(N\) di chuyển trên đường nào?

Chọn A

Điểm thuộc \(\left( P \right)\) có tung độ bằng \( - 6\) thì hoành độ \(x\) thỏa mãn phương trình \( - 6 =  - 2{x^2}\) nên \({x^2} = 3.\)

Do đó \(x = 3\) hoặc \(x =  - 3.\)

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là \(\left( {\sqrt 3 ;\, - 6} \right);\,\,\left( { - \sqrt 3 ;\, - 6} \right).\)

Chọn D

Gọi tọa độ của điểm \(M\) là \(\left( {x;y} \right)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) và song song với trục \(Ox\)có dạng \(\left( d \right):y + 1 = 0\).

Khoảng cách từ \(M\) đến \(A\) là \(MA = \sqrt {{{\left( {0 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \)

Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(d\) là \(\frac{{\left| {y + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = \left| {y + 1} \right|\)

Để khoảng cách từ \(M\) đến \(A\) bằng khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(d\) thì \(\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \left| {y + 1} \right|\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {y + 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 = {y^2} + 2y + 1\)\( \Leftrightarrow 4y = {x^2}\)\( \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}{x^2}\).

Vậy tập hợp các điểm \(M\)là một parabol có phương trình \(y = \frac{1}{4}{x^2}\).