Một quả bóng được thả rơi từ độ cao \(360m\). Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao của quả bóng so với ví trí đứng thả (tính bằng mét) có thể mô tả bởi phương trình: \(s = a{t^2},a > 0\).

a) Xác định hệ số \(a\) biết sau 2 giây, bóng rơi được \(22m\).

b) Sau 5 giây, bóng cách đất bao nhiêu mét?

c) Quãng đường bóng đi được trong 2 giây cuối?

                                                           

a)\(A( - \sqrt 2 ;4) \in (P) \Rightarrow 4 = a{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow a = 2\)

Vậy \(a = 2\) là giá trị cần tìm.

b) Ta có \(y = 2{x^2}\)

+ Vẽ \(\left( P \right)\): Học sinh tự vẽ nhé

+ Thay \(y = 2\) vào hàm số \(y = 2{x^2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}2 = 2{x^2}\\x =  \pm 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {1;2} \right);\left( { - 1;2} \right)\)

+ Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (P) \Rightarrow {y_0} = 2x_{_0}^2\).

\(M\) cách đều \(Ox,\,\,Oy\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{x_0}} \right| = \left| {{y_0}} \right|\\\left| {{x_0}} \right| = \left| {2x_{_0}^2} \right|\\2x_{_0}^2 = \left| {{x_0}} \right|\end{array}\)

\(2x_{_0}^2 =  - {x_0}\) hoặc \(2x_{_0}^2 = {x_0}\)

\(2x_{_0}^2 + {x_0} = 0\) hoặc \(2x_{_0}^2 - {x_0} = 0\)

\({x_0}\left( {2{x_0} + 1} \right) = 0\) hoặc \({x_0}\left( {2{x_0} - 1} \right) = 0\)

Giải \({x_0}\left( {2{x_0} + 1} \right) = 0\)

\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} =  - \frac{1}{2}\)

Giải\({x_0}\left( {2{x_0} - 1} \right) = 0\)

\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = \frac{1}{2}\)

Do đó \({x_0} \in \left\{ { - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right\}\)

\( \Rightarrow {M_1}(0;0);{M_2}\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right);{M_3}\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{1}{2}} \right).\)

Phương trình parabol của cổng trường có dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).

\({\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\;{\rm{m}};{\rm{OE}} = {\rm{OA}} - {\rm{AE}} = 4,5 - 0,5 = 4\;{\rm{m}}\). Vì \({\rm{OS}} = 7,6\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{A}}(4,5; - 7,6)\).

\({\rm{A}}(4,5; - 7,6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow  - 7,6 = a \cdot {(4,5)^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 7,6}}{{4,{5^2}}} =  - \frac{{152}}{{405}}\)

Vậy \((P):y =  - \frac{{152}}{{405}}{x^2}\)

Thay \(x = 4\) vào \((P):y =  - \frac{{152}}{{405}}{x^2}\), ta có: \(y =  - \frac{{152}}{{405}}{4^2} \approx  - 6\)

\( \Rightarrow {\rm{HM}} = 6\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{ME}} = {\rm{HE}} - {\rm{HM}} = 7,6 - 6 = 1,6\;{\rm{m}}\)

Vậy bạn sinh viên đó cao \(1,6\;{\rm{m}}\).