Cho hàm số \(y = a{x^2}\) có đồ thị hàm số \((P)\).

1. Xác định \(a\) biết \((P)\) đi qua điềm \(A(1; - 2)\).

2. Vẽ đồ thị \((P)\).

3. Tìm điểm thuộc \((P)\) có hoành độ bằng 2.

a)\(A( - \sqrt 2 ;4) \in (P) \Rightarrow 4 = a{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow a = 2\)

Vậy \(a = 2\) là giá trị cần tìm.

b) Ta có \(y = 2{x^2}\)

+ Vẽ \(\left( P \right)\): Học sinh tự vẽ nhé

+ Thay \(y = 2\) vào hàm số \(y = 2{x^2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}2 = 2{x^2}\\x =  \pm 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {1;2} \right);\left( { - 1;2} \right)\)

+ Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (P) \Rightarrow {y_0} = 2x_{_0}^2\).

\(M\) cách đều \(Ox,\,\,Oy\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{x_0}} \right| = \left| {{y_0}} \right|\\\left| {{x_0}} \right| = \left| {2x_{_0}^2} \right|\\2x_{_0}^2 = \left| {{x_0}} \right|\end{array}\)

\(2x_{_0}^2 =  - {x_0}\) hoặc \(2x_{_0}^2 = {x_0}\)

\(2x_{_0}^2 + {x_0} = 0\) hoặc \(2x_{_0}^2 - {x_0} = 0\)

\({x_0}\left( {2{x_0} + 1} \right) = 0\) hoặc \({x_0}\left( {2{x_0} - 1} \right) = 0\)

Giải \({x_0}\left( {2{x_0} + 1} \right) = 0\)

\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} =  - \frac{1}{2}\)

Giải\({x_0}\left( {2{x_0} - 1} \right) = 0\)

\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = \frac{1}{2}\)

Do đó \({x_0} \in \left\{ { - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right\}\)

\( \Rightarrow {M_1}(0;0);{M_2}\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right);{M_3}\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{1}{2}} \right).\)

Phương trình parabol của cổng trường có dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).

\({\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\;{\rm{m}};{\rm{OE}} = {\rm{OA}} - {\rm{AE}} = 4,5 - 0,5 = 4\;{\rm{m}}\). Vì \({\rm{OS}} = 7,6\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{A}}(4,5; - 7,6)\).

\({\rm{A}}(4,5; - 7,6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow  - 7,6 = a \cdot {(4,5)^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 7,6}}{{4,{5^2}}} =  - \frac{{152}}{{405}}\)

Vậy \((P):y =  - \frac{{152}}{{405}}{x^2}\)

Thay \(x = 4\) vào \((P):y =  - \frac{{152}}{{405}}{x^2}\), ta có: \(y =  - \frac{{152}}{{405}}{4^2} \approx  - 6\)

\( \Rightarrow {\rm{HM}} = 6\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{ME}} = {\rm{HE}} - {\rm{HM}} = 7,6 - 6 = 1,6\;{\rm{m}}\)

Vậy bạn sinh viên đó cao \(1,6\;{\rm{m}}\).