Cho phương trình \(4{x^2} + 4mx + m + 6 = 0\) \(\left( 1 \right)\). Tìm \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\)có nghiệm kép

a) Tìm giá trị của \(m\)để phương trình \(\left( 1 \right)\)có nghiệm \(x = 3\)

Vì \(x = 3\)là nghiệm của (1) nên thay \(x = 3\)vào phương trình ta có :

\(\begin{array}{l}{3^2} + \left( {2m + 3} \right).3 + 3m = 0\\9 + 6m + 9 + 3m = 0\\9m = - 18\\m = - 2\end{array}\)

Vậy để phương trình (1) có nghiệm \(x = 3\)thì \(m = - 2\)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\)phương trình (1) luôn có nghiệm.

Phương trình (1) có :

\(\Delta = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4.1.3m = 4{m^2} + 12m + 9 - 12m = 4{m^2} + 9 > 0\left( {\forall m} \right)\)

Vậy phương trình (1) luôm có nghiệm (đpcm)

a) Tìm \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\)có nghiệm

Xét 2 tường hợp

TH1: Với \[m = 0\] phương trình trở thành:

 \[\begin{array}{l} - 5x - 2 = 0\\x = - \frac{2}{5}\end{array}\]

Vậy \[m = 0\] thỏa yêu cầu bài toán

TH2: Với \[m \ne 0\] phương trình \[m{x^2} + \left( {2m - 5} \right)x + m - 2 = 0\] là một phương trình bậc hai và có \[\Delta = {\left( {2m - 5} \right)^2} - 4m\left( {m - 2} \right) = - 12m + 25\]

để phương trình \(\left( 1 \right)\)có nghiệm thì \[\Delta \ge 0\]

\[\begin{array}{l} - 12m + 25 \ge 0\\m \le \frac{{25}}{{12}}\end{array}\]

Kết hợp hai trường hợp suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \[m \le \frac{{25}}{{12}}\]

b) Tìm \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt

để phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt thì \[a \ne 0\] và \[\Delta > 0\]

hay \[m \ne 0\] và \[ - 12m + 25 > 0\]

hay \[m \ne 0\] và \[m < \frac{{25}}{{12}}\]

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \[m \ne 0\] và \[m < \frac{{25}}{{12}}\]