Cho phương trình (ẩn \(x\)) \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} = 0\)

a)      Tính \(\Delta '\)

b)      Với giá trị nào của \(m\)thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm.

a) Tìm giá trị của \(m\)để phương trình \(\left( 1 \right)\)có nghiệm \(x = 3\)

Vì \(x = 3\)là nghiệm của (1) nên thay \(x = 3\)vào phương trình ta có :

\(\begin{array}{l}{3^2} + \left( {2m + 3} \right).3 + 3m = 0\\9 + 6m + 9 + 3m = 0\\9m = - 18\\m = - 2\end{array}\)

Vậy để phương trình (1) có nghiệm \(x = 3\)thì \(m = - 2\)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\)phương trình (1) luôn có nghiệm.

Phương trình (1) có :

\(\Delta = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4.1.3m = 4{m^2} + 12m + 9 - 12m = 4{m^2} + 9 > 0\left( {\forall m} \right)\)

Vậy phương trình (1) luôm có nghiệm (đpcm)

a) Tìm \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\)có nghiệm

Xét 2 tường hợp

TH1: Với \[m = 0\] phương trình trở thành:

 \[\begin{array}{l} - 5x - 2 = 0\\x = - \frac{2}{5}\end{array}\]

Vậy \[m = 0\] thỏa yêu cầu bài toán

TH2: Với \[m \ne 0\] phương trình \[m{x^2} + \left( {2m - 5} \right)x + m - 2 = 0\] là một phương trình bậc hai và có \[\Delta = {\left( {2m - 5} \right)^2} - 4m\left( {m - 2} \right) = - 12m + 25\]

để phương trình \(\left( 1 \right)\)có nghiệm thì \[\Delta \ge 0\]

\[\begin{array}{l} - 12m + 25 \ge 0\\m \le \frac{{25}}{{12}}\end{array}\]

Kết hợp hai trường hợp suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \[m \le \frac{{25}}{{12}}\]

b) Tìm \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt

để phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt thì \[a \ne 0\] và \[\Delta > 0\]

hay \[m \ne 0\] và \[ - 12m + 25 > 0\]

hay \[m \ne 0\] và \[m < \frac{{25}}{{12}}\]

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \[m \ne 0\] và \[m < \frac{{25}}{{12}}\]