Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + m + 1 = 0\)                    (1)

Định \(m\) để phương trình:

a) Có hai nghiệm trái dấu;

b) Có hai nghiệm dương phân biệt

c) Có đúng một nghiệm dương.

Ta có: \(a = 1;b = - 3;c = m - 1\).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} - 1\) và \({x_2} - 1\) trái dấu khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ \left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)<0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}9-4 \left(m-1\right)>0\left(1\right)\\ x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)+1<0\left(2\right)\end{array}\right.\right.$

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}\).

Với điều kiện \(m < \frac{{13}}{4}\), phương trình có hai nghiệm phân biệt\({x_1};{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3;{x_1}{x_2} = m - 1\).

Ta có: \((2) \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right) - 3 + 1 < 0 \Leftrightarrow \;m < 3\). Kết hợp \(m < 3\) và \(m < \frac{{13}}{4} \Rightarrow \;m < 3\).

Cách khác: Đặt \(t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1\), thế t vào phương trình đã cho, ta có:

\({\left( {t + 1} \right)^2} - 3\left( {t + 1} \right) + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t + m - 3 = 0{\rm{ }}\left( * \right)\)

Điều kiện \({x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1\). Khi đó, gọi \({t_1} = {x_1} - 1;{t_2} = {x_2} - 1\) là hai nghiệm phương trình (*).

Vậy \({t_1} < 0 < {t_2} \Leftrightarrow \;m - 3 < 0 \Leftrightarrow \;m < 3\).

Nhận xét: Cách thứ hai, gọi là đặt ẩn phụ; ta không phải tìm điều kiện: \(\Delta > 0\).

Ta có: \(a = 1;b = 4;c = m\). Phương trình có hai nghiệm trái dấu\( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow \;m < 0\).

Nhận xét: Tìm \(m\) để phương trị̀nh có hai nghiệm phân biệt âm: \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' > 0}\\{P = \frac{c}{a} > 0}\\{S = - \frac{b}{a} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - m > 0}\\{m > 0}\\{ - 4 < 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < m < 4} \right.} \right.\)