Tìm \(m\) để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương:\({x^2} - 2x + m = 0\)

\(\begin{array}{*{20}{c}}{{\Delta ^\prime } = {{(m - 1)}^2} - (m + 1) = {m^2} - 3m = m(m - 3)}\\{s = 2(m - 1);P = m + 1}\end{array}\)

a) (1) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow m < - 1\)

b) (1) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array}} \right.\)

                                                              \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m(m - 3) > 0}\\{2(m - 1) > 0 \Leftrightarrow m > 1}\\{m + 1 > 0}\end{array}} \right.\)

c) Có các trường hợp xảy ra:

i) (1) Có nghiệm kép dương: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } = 0}\\{ - \frac{b}{a} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m(m - 3) = 0}\\{m - 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow m = 3} \right.} \right.\)

ii) (1) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow m < - 1\)

iii) (1) có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương

(1) có 1 nghiệm \({x_1} = 0 \Leftrightarrow m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)

Khi đó: (1) \( \Leftrightarrow {x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 4 < 0}\end{array}} \right.\)

Vậy \(m = 3\) hoặc \(m = - 1\) thì phương trình có đúng 1 nghiệm dương.

Ta có: \(a = 1;b = - 3;c = m - 1\).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} - 1\) và \({x_2} - 1\) trái dấu khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ \left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)<0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}9-4 \left(m-1\right)>0\left(1\right)\\ x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)+1<0\left(2\right)\end{array}\right.\right.$

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}\).

Với điều kiện \(m < \frac{{13}}{4}\), phương trình có hai nghiệm phân biệt\({x_1};{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3;{x_1}{x_2} = m - 1\).

Ta có: \((2) \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right) - 3 + 1 < 0 \Leftrightarrow \;m < 3\). Kết hợp \(m < 3\) và \(m < \frac{{13}}{4} \Rightarrow \;m < 3\).

Cách khác: Đặt \(t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1\), thế t vào phương trình đã cho, ta có:

\({\left( {t + 1} \right)^2} - 3\left( {t + 1} \right) + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t + m - 3 = 0{\rm{ }}\left( * \right)\)

Điều kiện \({x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1\). Khi đó, gọi \({t_1} = {x_1} - 1;{t_2} = {x_2} - 1\) là hai nghiệm phương trình (*).

Vậy \({t_1} < 0 < {t_2} \Leftrightarrow \;m - 3 < 0 \Leftrightarrow \;m < 3\).

Nhận xét: Cách thứ hai, gọi là đặt ẩn phụ; ta không phải tìm điều kiện: \(\Delta > 0\).