Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{3x + 1}}\ln \left( {3x + 1} \right) + {2^x} + 2024\) với mọi \(x \in \left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\).

Gọi vận tốc của xe khi bắt đầu phanh là \({v_0}\) \(\left( {m/s} \right)\)

Vận tốc tại thời điểm \(t\) kể từ lúc bắt đầu phanh là: \(v\left( t \right) = \int {\left( { - 5} \right){\rm{dt}}}  =  - 5t + C\).

Vận tốc của vật tại thời điểm bắt đầu phanh xe là \({v_0}\,\left( {\,m/s} \right)\) nên ta có \(v\left( 0 \right) = {v_0} \Rightarrow C = {v_0} \Rightarrow v\left( t \right) =  - 5t + {v_0}\)

Quãng đường vật đi được tại thời điểm \(t\) kể từ khi bắt đầu đạp phanh là \(S\left( t \right) = \int {v(t){\rm{dt}}} \)\( = \int {\left( { - 5t + {v_0}} \right){\rm{dt}}}  =  - \frac{5}{2}{t^2} + {v_0}t + C\).

Ta có \(S\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S\left( t \right) =  - \frac{5}{2}{t^2} + {v_0}t\).

Khi xe dừng hẳn ta có \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 5t + {v_0} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{{v_0}}}{5}\).

Quãng đường xe đi được từ khi bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là \(S = S\left( {\frac{{{v_0}}}{5}} \right) =  - \frac{5}{2}{\left( {\frac{{{v_0}}}{5}} \right)^2} + \frac{{v_0^2}}{5} = \frac{{v_0^2}}{{10}}\) \(\left( m \right)\).

Quãng đường người lái xe đi từ khi nhìn thấy chướng ngại vật đến khi đạp phanh là \({v_0}\) \(\left( m \right)\).

Theo bài ra ta có phương trình \(\frac{{v_0^2}}{{10}} + {v_0} = 41,6\).

Giải phương trình ta được \(\left[ \begin{array}{l}{v_0} = 16\\{v_0} =  - 26\end{array} \right.\).

Vậy vận tốc khi người lái xe bắt đầu phanh là \(16\,\,\left( {m/s} \right)\).