Một xe ô tô đang chuyển động đều thì người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường. Sau 1 giây thì người lái xe bắt đầu đạp phanh. Ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a =  - \,5m/{s^2}\). Biết rằng kể từ lúc nhìn thấy chướng ngại vật cho đến khi dừng hẳn thì xe đi thêm được quãng đường 41,6 mét. Vận tốc của xe khi người lái xe bắt đầu phanh là bao nhiêu \(m/s\)?

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = 1 + {\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]^\prime }\)

\( \Rightarrow \int {f(x){\rm{d}}x}  = \int {1{\rm{d}}x}  + \int {{{\left[ {\ln ({x^2} + 1)} \right]}^\prime }{\rm{d}}x}  = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).

\(F\left( 0 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(0 + \ln \left( {{0^2} + 1} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\) \( \Rightarrow F\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\).

Xét phương trình \(F\left( x \right) = x\left[ {1 + \log ({x^2} + 1)} \right]\).

Điều kiện: \(x \in \mathbb{R}\)

Phương trình \( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^2} + 1} \right) = x\log \left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \ln 10.\log \left( {{x^2} + 1} \right) - x\log \left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \log \left( {{x^2} + 1} \right).\left( {\ln 10 - x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log \left( {{x^2} + 1} \right) = 0\\\ln 10 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 1\\x = \ln 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \ln 10\end{array} \right.\).

Ta có: \[f(x) = xf'(x) - 2{x^3} - 3{x^2} \Leftrightarrow xf'(x) - f(x) = 2{x^3} + 3{x^2} = {x^2}(2x + 3)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{xf'(x) - f(x)}}{{{x^2}}} = 2x + 3 \Leftrightarrow \int {{{\left( {\frac{{f(x)}}{x}} \right)}^\prime }} dx = \int {\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x}  \Leftrightarrow \frac{{f(x)}}{x} = {x^2} + 3x + C.\]