Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}\) và \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}\) và \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) \(F'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}\).
b) \[f(x) = \frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}}\].
c) \(F(x) = \frac{1}{2}\ln \frac{{x - 3}}{{x - 1}} + C\).
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \(F'\left( x \right) = f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}\). Vậy câu a) đúng.
b) Do \[\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 - x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{2}{{{x^2} - 4x + 3}} = 2f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right)\] nên câu b) sai.
c) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x - 3}} - \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x - 1}}} } } \right)} = \frac{1}{2}\left( {\ln \left| {x - 3} \right| - \ln \left| {x - 1} \right|} \right) + C\)
\( = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right| + C\).
Vậy câu c) sai.
d) Ta có \(F(x) = \frac{1}{2}\ln \left( { - \frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right) + {C_1}\) khi \(x \in \left( {1;3} \right)\) và \(F(x) = \frac{1}{2}\ln \left( { - \frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right) + {C_2}\) khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
Có \(F(2) = {C_1} = 2 \Rightarrow F\left( {\frac{3}{2}} \right) = \ln \sqrt 3 + 2\).
\(F( - 1) = \frac{1}{2}\ln 2 + {C_2} = 5 \Rightarrow {C_2} = 5 - \ln \sqrt 2 \Rightarrow F(4) = - \ln \sqrt 3 + 5 - \ln \sqrt 2 \).
Suy ra \(F\left( {\frac{3}{2}} \right) + F(4) = \ln \sqrt 3 + 2 + 5 - \ln \sqrt 3 - \ln \sqrt 2 = 7 - \ln \sqrt 2 < 10\)
Vậy câu d) đúng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Gọi vận tốc của xe khi bắt đầu phanh là \({v_0}\) \(\left( {m/s} \right)\)
Vận tốc tại thời điểm \(t\) kể từ lúc bắt đầu phanh là: \(v\left( t \right) = \int {\left( { - 5} \right){\rm{dt}}} = - 5t + C\).
Vận tốc của vật tại thời điểm bắt đầu phanh xe là \({v_0}\,\left( {\,m/s} \right)\) nên ta có \(v\left( 0 \right) = {v_0} \Rightarrow C = {v_0} \Rightarrow v\left( t \right) = - 5t + {v_0}\)
Quãng đường vật đi được tại thời điểm \(t\) kể từ khi bắt đầu đạp phanh là \(S\left( t \right) = \int {v(t){\rm{dt}}} \)\( = \int {\left( { - 5t + {v_0}} \right){\rm{dt}}} = - \frac{5}{2}{t^2} + {v_0}t + C\).
Ta có \(S\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S\left( t \right) = - \frac{5}{2}{t^2} + {v_0}t\).
Khi xe dừng hẳn ta có \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + {v_0} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{{v_0}}}{5}\).
Quãng đường xe đi được từ khi bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là \(S = S\left( {\frac{{{v_0}}}{5}} \right) = - \frac{5}{2}{\left( {\frac{{{v_0}}}{5}} \right)^2} + \frac{{v_0^2}}{5} = \frac{{v_0^2}}{{10}}\) \(\left( m \right)\).
Quãng đường người lái xe đi từ khi nhìn thấy chướng ngại vật đến khi đạp phanh là \({v_0}\) \(\left( m \right)\).
Theo bài ra ta có phương trình \(\frac{{v_0^2}}{{10}} + {v_0} = 41,6\).
Giải phương trình ta được \(\left[ \begin{array}{l}{v_0} = 16\\{v_0} = - 26\end{array} \right.\).
Vậy vận tốc khi người lái xe bắt đầu phanh là \(16\,\,\left( {m/s} \right)\).
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Câu 3
A. \(\frac{3}{2}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2024x + C\).
B. \(\frac{3}{2}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + {2^x}\ln 2 + 2024x + C\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} - \cos \left( {2x + 1} \right)\).
B. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} - 2\cos \left( {2x + 1} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập