Trong các hình phẳng sau, hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều?

Ta có: \(AB = BC = CD = DE = EA\) (gt) (*).

Xét tam giác \(ABE\) có \({\rm{AB}} = {\rm{AE}}\) (gt) nên cân tại \(A\) có$\widehat{\text{A}}={108}^{°}$ (gt)

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{E_1}=\frac{{180}^{°}-\widehat{A}}{2}=\frac{{180}^{°}-{108}^{°}}{2}={36}^{°}$

Tương tự với tam giác BCD , ta có: \[\widehat {{B_3}} = \widehat {{D_1}}\].

Lại có $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{B_1}+\widehat{B_2}+\widehat{B_3}={108}^{°}$ $\Rightarrow \widehat{B_2}={108}^{°}-\left(\widehat{B_1}+\widehat{B_3}\right)\Rightarrow \widehat{B_2}={108}^{°}-\left({36}^{°}+{36}^{°}\right)={36}^{°}$

Dễ thấy \( \Rightarrow BE = BD\) hay tam giác \(EBD\) cân tại \(B\) có $\widehat{B_2}={36}^{°}$

$\Rightarrow \widehat{E_2}=\widehat{D_2}=\frac{{180}^{°}-\widehat{B_2}}{2}=\frac{{180}^{°}-{36}^{°}}{2}={72}^{°}$. Khi đó $\widehat{\text{AED}}={\widehat{\text{E}}}_1+{\widehat{\text{E}}}_2={36}^{°}+{72}^{°}={108}^{°}$

Tương tự  $\widehat{\text{CDE}}={108}^{°}$. Vậy $\widehat{\text{A}}=\widehat{\text{B}}=\widehat{\text{C}}=\widehat{\text{D}}=\widehat{\text{E}}={108}^{°}$

Từ \(^{(*)}\) và \(\left( {^{(*)}} \right) \Rightarrow \) Ngũ giác \[ABCDE\]là ngũ giác đều (Các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau).

Ta có $sd\stackrel{⏜}{AB}=sd\stackrel{⏜}{BC}=sd\stackrel{⏜}{CD}=sd\stackrel{⏜}{DE}=sd\stackrel{⏜}{EF}=sd\stackrel{⏜}{FA}=\frac{{360}^{°}}{6}={60}^{°}$.

Xét tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) có $\widehat{\text{AOB}}={60}^{°}$ (vì $sd\stackrel{⏜}{AB}={60}^{°}$)

 đều nên \(AB = R\) và \(\widehat {ABO} = {60^^\circ }\) (1)

Tương tự với tam giác BOC đều $\Rightarrow \widehat{\text{OBC}}={60}^{°}$ và \({\rm{BC}} = {\rm{R}}\) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ABO}}+\widehat{\text{OBC}}={60}^{°}+{60}^{°}={120}^{°}$ và \(AB = BC = R\).

Chứng minh tương tự với các cạnh và các góc còn lại ta có đa giác \(ABCD\) có:

\(AB = BC = CD = DE = EF = FA = R.\)

Và các góc \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rm{CDE}}} = \widehat {{\rm{DEF}}} = \widehat {{\rm{EFA}}} = \widehat {{\rm{FAB}}} = 120^\circ \). Do đó \[ABCDEF\] là một đa giác đều.