Cho ngũ giác \(ABCDE\) có các cạnh bằng nhau và $\widehat{\text{A}}=\widehat{\text{B}}=\widehat{\text{C}}=$ ${108}^{°}$ Ngũ giác \[ABCDE\] có phải là ngũ giác đều không?

Hướng dẫn: Để chứng minh ngũ giác \(ABCDE\) đều ta phải chứng minh:

* Các cạnh bằng nhau (giả thiết đã cho).

* Các góc bằng nhau: $\widehat{\text{D}}=\widehat{\text{E}}={108}^{°}$

Ta có: \(AB = BC = CD = DE = EA\) (gt) (*).

Xét tam giác \(ABE\) có \({\rm{AB}} = {\rm{AE}}\) (gt) nên cân tại \(A\) có$\widehat{\text{A}}={108}^{°}$ (gt)

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{E_1}=\frac{{180}^{°}-\widehat{A}}{2}=\frac{{180}^{°}-{108}^{°}}{2}={36}^{°}$

Tương tự với tam giác BCD , ta có: \[\widehat {{B_3}} = \widehat {{D_1}}\].

Lại có $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{B_1}+\widehat{B_2}+\widehat{B_3}={108}^{°}$ $\Rightarrow \widehat{B_2}={108}^{°}-\left(\widehat{B_1}+\widehat{B_3}\right)\Rightarrow \widehat{B_2}={108}^{°}-\left({36}^{°}+{36}^{°}\right)={36}^{°}$

Dễ thấy \( \Rightarrow BE = BD\) hay tam giác \(EBD\) cân tại \(B\) có $\widehat{B_2}={36}^{°}$

$\Rightarrow \widehat{E_2}=\widehat{D_2}=\frac{{180}^{°}-\widehat{B_2}}{2}=\frac{{180}^{°}-{36}^{°}}{2}={72}^{°}$. Khi đó $\widehat{\text{AED}}={\widehat{\text{E}}}_1+{\widehat{\text{E}}}_2={36}^{°}+{72}^{°}={108}^{°}$

Tương tự  $\widehat{\text{CDE}}={108}^{°}$. Vậy $\widehat{\text{A}}=\widehat{\text{B}}=\widehat{\text{C}}=\widehat{\text{D}}=\widehat{\text{E}}={108}^{°}$

Từ \(^{(*)}\) và \(\left( {^{(*)}} \right) \Rightarrow \) Ngũ giác \[ABCDE\]là ngũ giác đều (Các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau).