Họ tất cả các nguyên hàm của \[f\left( x \right) = {x^2} + \sin 2x\] là
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \[\int {f\left( x \right){\rm{dx}}} = \int {\left( {{x^2} + \sin 2x} \right){\rm{dx}}} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{2}\cos 2x + C\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
+) Trên \(\left[ { - 1;\,2} \right]\), đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một phần của parabol \(\left( P \right):y = a{{\rm{x}}^2} + bx + c\) đi qua các điểm \(\left( { - 1;1} \right),\,\left( {0;2} \right),\,\left( {2; - 2} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 1\\c = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,y = - {x^2} + 2.\)
+) Trên \(\left[ {2;\,3} \right]\), đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đoạn thẳng \(\left( d \right):y = m{\rm{x}} + n\) đi qua các điểm \(\left( {2; - 2} \right),\,\left( {3;3} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2m + n = - 2\\3m + n = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = - 12\end{array} \right. \Rightarrow \left( d \right):\,y = 5x - 12.\)
Vậy \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 2\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\,\,5x - 12\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right.\).
+) Từ đó \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x + {C_1}\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + {C_2}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right..\)
Do \(F\left( { - 1} \right) = - \frac{5}{3} \Rightarrow {C_1} = 0.\)
Ta có \(F\left( x \right)\)liên tục tại \(x = 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + {C_2}} \right) \Rightarrow {C_2} = \frac{{46}}{3}.\)
Khi đó : \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + \frac{{46}}{3}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right..\)
Vậy \(F\left( 0 \right) + F\left( 3 \right) = \frac{{11}}{6} \approx 1,8.\)Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int {\left( {3{x^2} + 2x - m + 1} \right){\rm{d}}x} \)\( = {x^3} + {x^2} + \left( {1 - m} \right)x + C\).
Theo giả thiết \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = - 3\end{array} \right.\)\(\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^3} + {2^2} + \left( {1 - m} \right).2 + C = 1\\1 + 1 + \left( {1 - m} \right) + C = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + C = - 13\\ - m + C = - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 7\\C = 1\end{array} \right.\).
Suy ra \(f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 6x + 1\). Vậy \(f\left( { - 1} \right) = 7\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) \(f\left( 0 \right) = 0\).
b) \(F'\left( 0 \right) = 2\)
c) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(F\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = \frac{\pi }{2}\) là \(k = \sqrt {{2^\pi }} \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a)\(F'\left( 0 \right) = 0\).
b) \(F\left( 1 \right) = 0\).
c) \(\int {F\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \frac{2}{3}{x^3} + C\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập