Cho \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\] trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) +  \ldots  + F\left( {2021} \right)\) viết dưới dạng \(a + \frac{1}{b}\) (với \(a,\,b \in \mathbb{N}\)). Tổng \(a + b\) bằng?

+) Trên \(\left[ { - 1;\,2} \right]\), đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một phần của parabol \(\left( P \right):y = a{{\rm{x}}^2} + bx + c\) đi qua các điểm \(\left( { - 1;1} \right),\,\left( {0;2} \right),\,\left( {2; - 2} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 1\\c = 2\\a{.2^2} + b.2 + c =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,y =  - {x^2} + 2.\)

+) Trên \(\left[ {2;\,3} \right]\), đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đoạn thẳng \(\left( d \right):y = m{\rm{x}} + n\) đi qua các điểm \(\left( {2; - 2} \right),\,\left( {3;3} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2m + n =  - 2\\3m + n = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n =  - 12\end{array} \right. \Rightarrow \left( d \right):\,y = 5x - 12.\)

Vậy \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 2\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\,\,5x - 12\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right.\).

+) Từ đó \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x + {C_1}\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + {C_2}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right..\)

Do \(F\left( { - 1} \right) =  - \frac{5}{3} \Rightarrow {C_1} = 0.\)

Ta có \(F\left( x \right)\)liên tục tại \(x = 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + {C_2}} \right) \Rightarrow {C_2} = \frac{{46}}{3}.\)

Khi đó : \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + \frac{{46}}{3}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right..\)