Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4}\) là

+) Ta có \(f\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x = \cos x\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\cos x - \cos x\cos 2x} \right)\)\( = \frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{4}\left( {\cos 3x + \cos x} \right)\)\( = \frac{1}{4}\cos x - \frac{1}{4}\cos 3x\).

+) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {\frac{1}{4}\cos x - \frac{1}{4}\cos 3x} \right){\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{4}\sin \,x - \frac{1}{{12}}\sin \,3x + C\).

Lại có: \[F\left( 0 \right) = 2025\] \[ \Rightarrow C = 2025\]\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{4}\sin \,x - \frac{1}{{12}}\sin \,3x + 2025\)\( \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{4}\sin \,\frac{\pi }{2} - \frac{1}{{12}}\sin \,\frac{{3\pi }}{2} + 2025\)\( = \frac{1}{4} + \frac{1}{{12}} + 2025 = \frac{{6076}}{3} \approx 2025\).

+ Vận tốc khi viên đá bay lên là \[{v_1}\left( t \right) = \int { - g{\rm{d}}t}  = \int { - 10} {\rm{d}}t =  - 10t + C\].

+ Theo giả thiết ta có \[{v_1}\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow {v_1}\left( t \right) =  - 10t + 10\].

+ Đến vị trí cao nhất thì viên đá dừng, ta có.

+ Quãng đường từ lúc ném đến khi viên đá đạt độ cao nhất là:

\[{S_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int {\left( { - 10t + 10} \right)} {\rm{d}}t =  - 5{t^2} + 10t + {C_1}\]

+ Ta có \[{S_1}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_1} = 0\]\[ \Rightarrow {S_1}\left( t \right) =  - 5{t^2} + 10t\].

+ Sau \[1\left( s \right)\] viên đá đạt độ cao \[ \Rightarrow {S_1}\left( 1 \right) = 5\left( m \right)\].

+ Vận tốc khi viên đá rơi xuống là \[{v_2}\left( t \right) = \int {g{\rm{d}}t}  = \int {10} {\rm{d}}t = 10t + {C_2}\].

+ Lúc bắt đầu rơi \[{v_2}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_2} = 0 \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = 10t\].

+ Quãng đường viên đá rơi xuống là: \[{S_2}\left( t \right) = \int {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int {10t} {\rm{d}}t = 5{t^2} + {C_3}\].

+ Ta có \[{S_2}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_3} = 0\]\[ \Rightarrow {S_2}\left( t \right) = 5{t^2}\].

Do đó \[5{t^2} = 5 \Rightarrow t = 1\left( s \right)\], suy ra thời gian viên đá rơi đến khi chạm đất là \[1\left( s \right)\].