Một chiếc đèn cói có hình như bên. Nếu cắt đèn bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \(x\)(dm) \((0 \le x \le 4)\) thì được thiết diện là hình tròn có bán kính \(\sqrt {4 - x} \)(dm). Thể tích của chiếc đèn cói là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).

Nhận xét: Với \(D\) là trung điểm \(AC\), bằng hình ảnh trực quan, ta thấy rằng tam giác \(ABC\) cân tại \(B\); \(DB \bot Ox\), do đó thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(Ox\) sẽ gấp 2 lần thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABD\) quanh trục \(Ox\).

Ta lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua 2 điểm \(A\) và \(B\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4} \right)\) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), suy ra vector pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) di qua \(A\left( {0;0} \right)\), nhận \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 2} \right)\) làm vector pháp tuyến là:

\(4\left( {x - 0} \right) + \left( { - 2} \right)\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 2y = 0 \Leftrightarrow y = 2x\).

Khi đó, quay tam giác \(ABD\) quanh trục \(Ox\) ta được thể tích khối tròn xoay là

\(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x}  = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {2x} \right)}^2}{\rm{d}}x}  = 4\pi \int\limits_0^4 {{x^2}{\rm{d}}x}  = \left. {4\pi \frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^4 = \frac{{256}}{3}\pi \).

a) Đúng.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + 5x\) và đường thẳng \({\rm{y}} = 2x\). 

Ta có: \( - {x^2} + 5x = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\). Khi đó ta có 2 giao điểm \(A\left( {0;0} \right);B\left( {3;6} \right)\).

b) Sai.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + 5x\), trục hoành là

                                           \(S = \int\limits_0^5 {\left| { - {x^2} + 5x} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{125}}{6}.\)

c) Đúng.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \({\rm{y}} =  - {x^2} + 5x,{\rm{y}} = 2x\) là

                                           \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{9}{2}.\)

d) Sai.

Ta có: \({S_2} = S - {S_1} = \frac{{125}}{6} - \frac{9}{2} = \frac{{49}}{3}.\)