Biết rằng \(y = F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = f(x).\) Đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) được biểu diễn trong hình bên dưới.

 Biết rằng diện tích các phần hình phẳng \(A\)và \(B\)lần lượt là \({S_A} = 5,\,{S_B} = 2.\) Nếu \(F( - 2) = 1\) thì \(F(1)\) bằng bao nhiêu?

Nhận xét: Với \(D\) là trung điểm \(AC\), bằng hình ảnh trực quan, ta thấy rằng tam giác \(ABC\) cân tại \(B\); \(DB \bot Ox\), do đó thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(Ox\) sẽ gấp 2 lần thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABD\) quanh trục \(Ox\).

Ta lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua 2 điểm \(A\) và \(B\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4} \right)\) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), suy ra vector pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) di qua \(A\left( {0;0} \right)\), nhận \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 2} \right)\) làm vector pháp tuyến là:

\(4\left( {x - 0} \right) + \left( { - 2} \right)\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 2y = 0 \Leftrightarrow y = 2x\).

Khi đó, quay tam giác \(ABD\) quanh trục \(Ox\) ta được thể tích khối tròn xoay là

\(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x}  = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {2x} \right)}^2}{\rm{d}}x}  = 4\pi \int\limits_0^4 {{x^2}{\rm{d}}x}  = \left. {4\pi \frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^4 = \frac{{256}}{3}\pi \).

a)   Đúng.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 4\) là

\[S = \int_0^4 {\sqrt {2x} } {\rm{d}}x = \left. {\frac{1}{3}{{\left( {2x} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^4 = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\].

b)   Đúng.

Đồ thị:

Phương trình hoành độ giao điểm:

∙     \(\sqrt {2x}  = 2x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2x = {\left( {2x - 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\4{x^2} - 10x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\).

∙     \(2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

∙     \(\sqrt {2x}  = 0 \Rightarrow x = 0\).

Diện tích hình \(\left( H \right)\): \(S = {S_{{D_1}}} + {S_{{D_2}}} = \int\limits_0^1 {\sqrt {2x} {\rm{d}}x}  + \int\limits_1^2 {\left( {\sqrt {2x}  - 2x + 2} \right){\rm{d}}x}  = \frac{5}{3}\)

c)   Sai. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi qua bởi đồ thị \(d\) quanh trục hoành và hai đường thẳng \(x = 3;\,\,x = 6\) quanh trục \(Ox\) là

\[V = \pi \int_3^6 {{{(2x - 2)}^2}} {\rm{d}}x = \pi \left. {\frac{1}{6}{{\left( {2x - 2} \right)}^3}} \right|_3^6 = 156\pi \]

d) Sai.