Một bình chứa nước có dạng như hình dạng như hình vẽ. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao \(x{\rm{ }}(dm)\)\((0 \le x \le {\rm{6)}}\) thì mặt nước là hình vuông có cạnh \(\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{6}} {\rm{ }}(dm)\). Tính dung tích của bình.

Nhận xét: Với \(D\) là trung điểm \(AC\), bằng hình ảnh trực quan, ta thấy rằng tam giác \(ABC\) cân tại \(B\); \(DB \bot Ox\), do đó thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(Ox\) sẽ gấp 2 lần thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABD\) quanh trục \(Ox\).

Ta lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua 2 điểm \(A\) và \(B\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4} \right)\) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), suy ra vector pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) di qua \(A\left( {0;0} \right)\), nhận \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 2} \right)\) làm vector pháp tuyến là:

\(4\left( {x - 0} \right) + \left( { - 2} \right)\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 2y = 0 \Leftrightarrow y = 2x\).

Khi đó, quay tam giác \(ABD\) quanh trục \(Ox\) ta được thể tích khối tròn xoay là

\(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x}  = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {2x} \right)}^2}{\rm{d}}x}  = 4\pi \int\limits_0^4 {{x^2}{\rm{d}}x}  = \left. {4\pi \frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^4 = \frac{{256}}{3}\pi \).

Diện tích của mặt cắt là: \(S(x) = \pi {(\sqrt {4 - x} )^2}\)(dm2)