Cho hàm số \(y = {{\rm{e}}^x}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).

a) Sai.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 3\) là

\(S = \int_0^3 {{{\rm{e}}^x}} {\rm{d}}x = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^3 = {{\rm{e}}^3} - 1\).

b) Sai.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = k\,\left( {k > 0} \right)\) bằng \(3\) nên ta có: \(\int_0^k {{{\rm{e}}^x}} {\rm{d}}x = 3 \Leftrightarrow \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^k = 3 \Leftrightarrow {{\rm{e}}^k} - 1 = 3 \Leftrightarrow k = \ln 4\).

c) Đúng.

Phương trình tiếp tuyến \(d\) của đồ thi hàm số tại điểm \({x_0} = 1\) là \[y = {\rm{e}}\left( {x - 1} \right) + {\rm{e}} \Leftrightarrow y = {\rm{e}}x\].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 3\)là \[S = \int_0^3 {\left( {{\rm{e}}x} \right)\,} {\rm{d}}x = \left. {{\rm{e}}.\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^3 = \frac{{9{\rm{e}}}}{2}\].

d) Sai.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 3\) quanh trục \(Ox\) là

\[V = \int_0^3 {{{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left. {{{\rm{e}}^{2x}}} \right|_0^3 = \frac{1}{2}\left( {{{\rm{e}}^6} - 1} \right)\].