Cho đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 3\).

a) Sai.

Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\), trục hoành, \(x = 2\),\(x = 3\) quanh trục hoành là: \[V = \pi \int\limits_2^3 {{{\left( {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \]

b) Đúng.

Giao điểm với trục hoành \(\left( {\frac{3}{2};0} \right)\)

Diện tích hình phẳng: \(S = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left| {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}} \right|{\rm{d}}x}  =  - \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {2 - \frac{5}{{x + 1}}{\rm{d}}x}  = \left. { - \left( {2x - 5\ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_0^{\frac{3}{2}} =  - 3 + 5\ln \frac{5}{2} \approx 1,58\)

c) Đúng.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 3\).

Ta có \(\frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = x - 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng:

\(S = \int\limits_0^4 {\left| {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}} - \left( {x - 3} \right)} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^4 {\left( { - x + 5 - \frac{5}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x}  = \left( { - \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 5\ln \left( {x + 1} \right)} \right)\mathop |\limits_0^4  = 12 - 5\ln 5\)

d) Sai.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y =  - x + 3\).

Ta có \(\frac{{2x - 3}}{{x + 1}} =  - x + 3 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 6 \)

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 3\) quanh trục hoành là:

\[V = \left[ {\pi \int\limits_0^{\sqrt 6 } {{{\left( {x - 3} \right)}^2}{\rm{d}}x}  - \pi \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {{{\left( {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} } \right] + \left[ {\pi \int\limits_{\sqrt 6 }^4 {{{\left( {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}} \right)}^2}{\rm{d}}x}  - \pi \int\limits_3^4 {{{\left( {x - 3} \right)}^2}{\rm{d}}x} } \right]\].