Đề kiểm tra Ứng dụng hình học của tích phân (có lời giải) - Đề 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\); \(x = 3\) bằng

Viết công thức tính thể tích \(V\) của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại các điểm \(x = a\), \(x = b\) \((a < b)\), có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \((a \le x \le b)\) là \(S(x)\).

Công thức tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là

Gọi \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {2^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\) và \(x = 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + 3x - 3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\) bằng

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {{\rm{e}}^x}\], \[y = {x^2} - 1\], \[x =  - 1,\;x = 1\] (tham khảo hình bên dưới) bằng

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \cos x,\;y = x + 1,\;x = \frac{\pi }{2},\;x = \pi \) (tham khảo hình bên dưới) bằng

Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \(\left( { - 1 \le x \le 1} \right)\) thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích của vật thể đó là

Cho hàm số\(y = \sqrt {{x^3} - 3} \) có đồ thị hàm số được biểu diễn trong hình bên dưới. Cho \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên và hai đường thẳng \(x = 2\) và \(x = 3\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x =  - 1,x = 1\) bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x =  - 1,x = 1\) bằng

Biết rằng \(y = F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = f(x).\) Đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) được biểu diễn trong hình bên dưới.

 Biết rằng diện tích các phần hình phẳng \(A\)và \(B\)lần lượt là \({S_A} = 5,\,{S_B} = 2.\) Nếu \(F( - 2) = 1\) thì \(F(1)\) bằng bao nhiêu?

Một dụng cụ đựng nước có dạng như hình bên. Nếu cắt dụng cụ bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \(x\)(cm) \((0 \le x \le 5)\) thì được thiết diện là hình chữ nhật có chiều dài là \(2x\) (cm) và chiều rộng là \(\sqrt {x + 3} \)(cm). Dung tích của dụng cụ trên là bao nhiêu ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).

Một chiếc đèn cói có hình như bên. Nếu cắt đèn bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \(x\)(dm) \((0 \le x \le 4)\) thì được thiết diện là hình tròn có bán kính \(\sqrt {4 - x} \)(dm). Thể tích của chiếc đèn cói là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) vẽ nửa đường tròn tâm \(O\), bán kính \(r = 2\) nằm phía trên trục \(Ox\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục \(Ox\) và  đường thẳng \(x = 1\)(Hình 6) . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\).